第三章飞行器的运动方程 刚体动力学方程的推导 1.刚体飞行器运动的假设1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标； 3）忽略地面曲率，视地面为平面； 4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；5）假设机体坐标系的z o x --平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积0==zy xy I I 2.旋转坐标系中向量的导数设活动坐标系b b b z y Ox 具有角速度ω （见图）。
向量ω在此坐标系中的分量为r q p ,,，即k r j q i p++=ω （） 其中i 、j、k 是b x 、b y 、b z 轴的单位向量。
图设有一个可变的向量)(t a，它在此坐标系中的分量为z y x a a a ,,，即k a j a i a a z y x++= （）由上式求向量)(t a对时间t 的导数：b xωb yb zOijkdtkd a dt j d a dt i d a k dt da j dt da i dt da dt a d z y x z y x +++++= （） 从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度ω旋转时，刚体上任何一点P的速度为r dt r d⨯=ω （） 其中r是从O 点到P 点的向径。
现在，把单位向量i看作是活动坐标系中一点P 的向径，于是可得：i dtid⨯=ω （） 同理可得： j dtj d⨯=ω （） k dtkd⨯=ω （） 将式（）、（）及（）代入式（）中，可得：)(k a j a i a k dtda j dt da i dt da dt a d z y x z y x ++⨯+++=ω （） 或写为： a t a dt a d⨯+=ωδδ （） 其中k dt da j dt da i dt da t a z y x++=δδ taδδ 称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察者所看到的向量a 的变化率。
而dtad则称为“绝对导数”，相当于站在固定坐标系中的观察者所看到的向量a 的变化率。
例如，若a 是某点的向径，则taδδ代表该点的相对速度（相对于动坐标系），而dt ad 则代表该点的绝对速度。
3.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器质心动力学方程由牛顿第二定律得：i V m dt d F |)(=∑ （）式中：F——外力m ——物体的质量V——物体的速度i |——表示相对于惯性坐标系在图中，考察飞机上的一个质量元m δ。
图 飞机上的质量元 列出牛顿第二定律方程dtV d m Fδδ= （）式中：Fδ——作用在质量元上的外力V——质量元相对惯性坐标系的速度作用在飞机上总的外力是这些微元的和，即 F F=∑δ （） 质量元的速度为dtrd V V c += （） b xyb zOc Vr式中：c V——飞机的质心的速度；dtrd ——微元相对于质心的速度。
将式（）代入式（），两边求和得：m dt rd V dt d F F c δδ)( +∑==∑ （）假设飞机的质量是常数，式（）可改写为m dtrd dt d dt V d m F c δ ∑+= （）或m r dtd dt V d m F c δ ∑+=22 （）由于r是从质心度量，所以和式0=∑m r δ 。
式（）简化为dtV d m F c= （）这个方程把作用在飞机上的外力和飞机质心的运动联系起来。
由式（）得)(|c B c V m dtV d m F⨯+=ω （）ω,,V F 用机体坐标系上的分量表示为k F j F i F F z y x++= （）k r j q i p++=ω （） k w j v i u V c++= （） 则有：⎪⎭⎪⎬⎫-+=-+=-+=)()()(qu pv w m F pw ru vm F rv qw um F z y x （） 这就是在机体坐标系（活动坐标系）下刚体飞行器质心动力学方程。
4.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器绕质心转动的力矩方程。
由牛顿第二定律得：i H dt d M |=∑ （）式中： M——外力矩H——物体的动量矩（角动量） i |——表示相对于惯性坐标系用类似方法。
对于质量微元m δ，力矩方程可以写为m V r dtd H dt d M δδδ)(⨯== （）质量微元的速度可以用质心的速度和质量元相对于质心的速度表达，即 r V dtr d V V c c⨯+=+=ω （）总的动量矩可以写作 mr r m V r mr V r m V r H H c c δωδδωδδ)()()]([)(⨯⨯∑+⨯∑=⨯+⨯∑=⨯∑=∑= （） 速度c V对于求和来说是常数，可以拿到求和符号的外面，即 m r r V m r H c δωδ)]([⨯⨯∑+⨯∑= （）式（）中的第一项为0，因为0=∑m r δ，前面已经解释过。
设k z j y i x r++= （）将式（）和（）代入（），得 k m y x r m yz q m xz p j m yz r m z x q m xy p im xz r m xy q m z y p H ])([])([])([222222δδδδδδδδδ+∑+∑-∑-+∑-+∑+∑-+∑-∑-+∑= （）如果定义m z y I x δ)(22+∑=，m xy I xy δ∑=，m z x I y δ)(22+∑= （）xzdm I xz ∑=，m y x I z δ)(22+∑=，m yz I yz δ∑= （）则有⎪⎭⎪⎬⎫+--=-+-=--=z yz xz z yz y xy y xz xy x x rI qI pI H rI qI pI H rI qI pI H （） 由式（3-9）得 H dtH d M B ⨯+=ω| （）设k N j M i L M++= （）将式（3-20）、（3-35）代入式（3-34），则有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+=-+=-+=x y z z x y yz x qH pH H N pH rH H M rH qH H L （） 因为假设xz 平面是飞机的对称平面，所以0==xy yz I I （）将式（）、（）代入（），得⎪⎭⎪⎬⎫+-++-=-+-+=--+-=qr I I I pq r I p I N r p I I I rp qI M pq I I I qr r I pI L xz x y z xz xz z x y xz y z xz x )()()()(22 （） 飞行器的运动学方程 3.2.1 飞行器的线运动方程1）由地面坐标系g S 绕g z 轴转动偏航角ψ到过渡坐标系''''z y Ox S -，转换关系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡g g g z y x z y x 100cos sin 0sin cos '''ψψψψ（） 2）由过渡坐标系''''z y Ox S -绕'y 轴转动θ到过渡坐标系''''''''z y Ox S -，转换关系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''cos 0sin 010sin 0cos ''''''z y x z y x θθθθ（）3）由过渡坐标系''''''''z y Ox S -绕''x 轴转动滚转角φ到机体坐标系b S ，转换关系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''''''cos sin 0sin cos 0001z y x z y x φφφφ （） 由地面坐标系g S 到机体坐标系b S ，转换关系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡g g g g g g z y x z y x z y x φθφψφψθφψφψθφθφψφψθφψφψθθψθψθψψψψθθθθφφφφcos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos 100cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001（）由机体坐标系b S 到地面坐标系g S ，转换关系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x Tg g g φθφθθφψφψθφψφψθψθφψφψθφψφψθψθφθφψφψθφψφψθφθφψφψθφψφψθθψθψθcos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos （）对式（）两边对t 求导得：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡dt dz dt dy dt dx dt dz dt dy dt dx g g g φθφθθφψφψθφψφψθψθφψφψθφψφψθψθcos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos （）或⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡w v u dt dz dt dy dt dx g g g φθφθθφψφψθφψφψθψθφψφψθφψφψθψθcos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos（）由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与地轴系间的转换关系：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡g g g a a a z y x z y x μγμχμγχμχμγχμγμχμγχμχμγχγγχγχcos cos sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos （）由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与机体轴系间的转换关系：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x a a a ααβαββαβαββαcos 0sin sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos （）式（）中的转换矩阵右乘（）的转换矩阵也表示从地轴系向速度轴系的转换，与式（）中转换矩阵相等，由此可得下列几何关系式。