5-6 向心力一向心力1.向心力的含义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，是由于它受到了指向圆心的力，这个合力叫做向心力。
2.向心力的大小=mωv，这三个公式适用于所有圆周运动，但在变速圆周运动（1）基本公式：F n=mω2r=m v2r中，ω、v是变化的，所以求某一点的向心力时，ω、v都是那一点的瞬时值。
)2r=m2πf2r=m(2πn)2r（2）常用公式：F n=m(2πT3.向心力的方向：总是指向圆心，故方向时刻在变化，所以向心力是变力。
4.向心力的作用效果：向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小。
●特别提醒：向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力为变力。
【例1】关于向心力的说法正确的是（）A.物体由于做圆周运动而产生向心力B.向心力不改变物体做圆周运动的速度的大小C.做匀速圆周运动的物体向心力是不变的D.只要物体做圆周运动，它的合力一定指向圆心【例2】关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是（）A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C.物体所受的合外力D.向心力和向心加速度的方向都是不变的【例3】一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。
图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是（）【例4】如图所示，将完全相同的两小球A、B，用长为L＝0.8m的细绳悬于以v＝4m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。
由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比F B：F A为（g取10m/s2）（）A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4【例5】如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，若将其拉离数值位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是（）A.绳的拉力B.重力和绳拉力的合力C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力【例6】用细线悬吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为α，线长为L，如图所示，下列说法中正确的是（）A.小球受重力、拉力、向心力B.小球受重力、拉力C.小球的向心力大小为mg tanαD.小球的向心力大小为mg/cosα二向心力的来源与确定1.向心力的来源：向心力时按力的作用效果命名的，可以使重力、弹力、摩擦力的各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力。
2.向心力的确定（1）确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
（2）分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力。
3.解决圆周运动问题的关键：从“供”、“需”两方面来进行研究。
（1）供：分析物体受力，求沿半径方向指向圆心的合外力。
（2）需：确定物体圆周轨道平面，定圆心、找半径，用公式求出所需向心力。
（3）算：根据“供”“需”平衡列方程F供=F需【例7】游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20m/s2，g取10m/s2，那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的（）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍【例8】如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。
则在该同学用手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是（）A.螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡B.螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心C.此时手转动塑料管的角速度ω=mgμrD.若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动【例9】甲、乙两名溜冰运动员，M 甲=80kg ，M 乙=40kg ，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示。
两人相距0.9m ，弹簧秤的示数为9.2N ，下列判断中正确的是（ ）A.两人的线速度相同，约为40m/sB.两人的角速度相同，为6rad/sC.两人的运动半径相同，都是0.45mD.两人的运动半径不同，甲为0.3m ，乙为0.6m【例10】如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A 、B 一起随圆盘做匀速圆周运动，旋转的角速度为ω，已知A 、B 两点到圆盘中心O 的距离为r A 和r B ，则两木块的向心力之比为（ ）.r A ：r B B.r A 2：r B 2C.1r A ：1r BD.1r A ：1r B【例11】如果让上题中的圆盘做加速旋转，则旋转角速度ω达到一定的值时（ ）A.A 木块先滑离圆盘B.B 木块先滑离圆盘C.两木块同时滑离圆盘D.不能确定【例12】在上题中，在圆盘做加速旋转的过程中，两木块还没有滑离圆盘，两木块受到的静摩擦力的方向为（ ）A.摩擦力的方向指向圆盘中心OB.摩擦力沿两木块速度的方向C.摩擦力既不指向圆盘中心O ，也不沿速度的切线方向D.不能确定三 处理圆周运动的方法1.明确研究对象在处理圆周运动问题时，如果涉及两个或两个以上的物体时，首先得明确研究对象，这是研究问题的关键。
2.确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。
例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动O 。
●注意：圆周运动的圆心一定和物体做圆周运动的轨道在同一平面内。
3.对物体进行受力分析，找出向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，不是一种新的性质的力。
向心力可以由某一个力充当，也可以由某个力的分力或几个力的合力充当。
当物体进行受理分析后，找出沿着轨道半径，指向圆心方向的合力。
这个合力就是向心力。
4.根据牛顿第二定律列方程将牛顿第二定律用于圆周运动，即得F=ma＝mω2r=m v2r式中F与a存在瞬时对应关系。
F为向心力，则a为向心加速度。
【例13】如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，则杆的上端受到球对其作用力的大小为（）A.mω2RB.m g2−ω4R2C.m g2+ω4R2D.不能确定【例14】如图所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则（）A.F1：F2=2：3B. F1：F2=3：2C. F1：F2=5：3D. F1：F2=2：1【例15】如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1=2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，求此时两小球到转轴的距离r1与r2之比。
【例16】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。
当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。
不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。
四 圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题是指物体从一种物理过程转变到另一物理过程中，因量变而引起质变，出现一种特殊的转变状态，即临界状态。
通过对物理过程的分析，找出临界状态，确定临界条件，往往是解决问题的关键。
对于物体在竖直平面内的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语。
【例17】如图所示，质量为m 的物块与转台之间能产生的最大静摩擦力为物块重力的k 倍，物块与转轴OO ’相距R ，随转台由静止开始转动。
当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，则此时转台的角速度为（ ）A. kgRB. R kgC. kg RD.0 【例18】如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳中张力为零）。
物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k 倍，求：（1）当转盘的角速度为ω1= kg 2r 时，绳中的张力为多少？（2）当转盘的角速度为ω2= 3kg 2r 时，绳中的张力又为多少？【例19】如图所示，汽车质量为1.5×104kg ，以不变的速度先后驶过凹形路面和凸型路面，路面圆弧半径均为15m ，如果路面承受的最大压力不得超过2.0×105N ，汽车允许的最大速率是多少？（g取10m/s 2）【例20】如图所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔O ，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m ＝1kg 的小球A ，另一端连接质量为M ＝4kg 的重物B 。
（1）当小球A 沿半径r ＝0.1m 的圆周做匀速圆周运动，其角速度为ω=10rad/s 时，物体B 对地面的压力为多大？（2）当小球A 的角速度为多大时，物体B 处于将要离开而尚未离开地面的临界状态？（g 取10m/s 2）【课后作业】1.关于向心力，下列说法正确的是（）A.向心力是一种效果力B.向心力是一种具有某种性质的力C.向心力既可以改变线速度的方向，又可以改变线速度的大小D.向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小2.我们经常在电视中看到男、女花样滑冰运动员手拉手在冰面上旋转并表演各种优美的动作。
现有甲、乙两名花样滑冰运动员，M甲=80kg，M乙=40kg，他们面对面拉着弹簧测力计各自以他们连线上某一点为圆心做匀速圆周运动，若两人相距0.9m，弹簧测力计的示数为600N，则（）A.两人的线速度相同，为0.4m/sB.两人的角速度相同，为5.0rad/sC.两人的运动半径相同，都是0.45mD.两人的运动半径不同，甲的半径是0.3m，乙的半径是0.6m3.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1:2，转动半径之比为1:2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为（）A.1:4B.2:3C.4:9D.9:164.如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，则可估算该女运动员（）A.受到的拉力为B.受到的拉力为2GC.向心加速度为3gD.向心加速度为2g5.用材料和粗细相同、长短不同的两段绳子，各栓一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么（）A.两个球以相同的线速度运动时，长绳易断B.两个球以相同的角速度运动时，长绳易断C.两个球以相同的角速度运动时，短绳易断D.不管怎样，都是短绳易断6.质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴M和m的悬绳与竖直方向夹角为α和β，如图所示，则（）A.cosα=cosβ2B.cosα=2cosβC.tanα=tanβ2D.tanα=tanβ7.如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动。