学生毕业论文（ 2012届）韩山师范学院教务处制诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

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毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文首先给出了初等几何的基本变换之一——平移变换的定义，接着阐述了平移变换相关定理的证明，平移变换相关公式的介绍，然后通过典型例题，探讨平移变换在中学数学解题中的重要作用。

关键词：平移变换；应用；证明；图象Abstract：This paper presents translational transformation, which is one of the basic elementary geometry transformations. Firstly, the paper describes the definition of translational transformation, and then gives the relevant proof of the theorems oftranslational transformation. What’s more,it introduces the related transformation formula of translational transformation. Through the typical examples, it emphasizes the important applications of translational transformation in the middle school mathematics.Keywords: translational transformation; applications; proof; image目录1 平移变换及相关概念 (1)1.1 平移变换的定义 (1)1.2 平移变换的相关定理及证明 (1)2 平移变换的相关公式 (3)2.1 点的平移变换公式 (3)2.2 一次函数的平移变换公式 (3)2.3 二次函数的平移变换公式 (4)2.4 三角函数的平移变换公式 (4)3 平移变换的应用 (5)3.1 证明几何中的不等问题 (6)3.2 证明几何中的相等问题 (7)3.3 求异面直线的夹角 (8)3.4 求二面角 (9)3.5 求线面角 (9)3.6 三角函数图象的平移变换 (10)3.7 二次函数图象的平移变换 (12)4 结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)平移变换及其应用1平移变换及相关概念[1]1.1 平移变换的定义设ν是平面π上的一个固定向量。

如果平面π的一个变换，使得对于平面π上的任意一点A 与其像点A ＇之间，恒有A A '=ν，则这个变换称为平面π的一个平移变换。

简称平移，记作T （ν）。

其中向量ν称为平移向量；向量ν的方向称为平移方向；向量ν的模 | ν | 称为平移距离（图1）。

A ＇νA图1通俗地讲，将平面上的所有点都按固定方向移动固定距离的变换称为平移变换。

如果平移变换的平移向量ν=0，对平面π上任意一点A ，设A −−→−)0(T A ＇，则有A A '=0，所以A ＇=A 。

由此可知，T （0）=I 是恒等变换。

这也说明恒等变换是平移变换，其平移距离为零。

因零向量没有方向，所以，恒等变换作为平移变换来说，也没有平移方向。

由平移变换的定义可知，平面上的一个向量确定一个平移变换；相等的向量确定同一个平移变换；零向量所确定的平移变换是恒等变换。

1.2 平移变换的相关定理及证明定理1.2.1 平面π的一个变换是平移变换的充分必要条件是：对平面π上的任意两点A 、B ，当A 、B −→−fA ＇、B ＇时，恒有AB B A =''。

证明：设f=T(ν)是平面π的一个平移变换，对平面π上的任意两点A 、B ，设B B A A v T v T '−−→−'−−→−)()(,，则有v B B A A ='='，于是ABB B B A A A B A B A ='-'='-'=''反之，在平面π上任取一点B ，设当B B f'−→−，令v B B ='，则ν是平面π的一个固定向量。

对平面π上任意一点A ，当A A f'−→−时，因AB B A =''，所以 v B A AB B A B A B A A A ='=-'=''-'='，由平移变换的定义即知f=T(ν)是平面π的一个平移变换。

定理1.2.2 平移变换是真正合同变换。

证明：由定理1.2.1即知平移变换是一个合同变换。

又对平移变换的任意两个对应三角形△ABC 与△C B A ''',由于定理2.1，AB B A =''，AC C A =''（图2），所以 ∠C A B '''=∠BAC 。

因而△ABC 与△C B A '''是同向的， 故平移变换是真正合同变换由于平移变换是合同变换，因而平移变换 图2具有合同变换的一切不变性质和不变量。

由定理1.2.1与定理1.2.2即知，平移变换是可逆的。

定理1.2.3 两个平移变换之积仍是一个平移变换，且积的平移向量等于两个因子的平移向量之和。

证明：设T (ν1)与T(ν2)是平面π的任意两个平移变换，对平面π上任意一点A ，设A A A v T v T ''−−→−'−−→−)()(21，则A A v T v T ''−−−→−)()(21，且21,v A A v A A ='''='，于是21v v A A A A A A +='''+'=''。

由平移变换的定义即知T(ν2)T(ν1)=T(ν1+ ν2)。

由向量加法的可交换性可知，任意两个平移变换关于变换的乘法是可交换的，即有T(ν1)T(ν2)=T(ν2)T(ν1)。

定理 1.2.4 平移变换的逆变换仍是一个平移变换，且逆变换的平移向量等于原平移向量的负向量。

证明：设T(ν)是平面π的一个平移变换，由定理1.2.2知， T(—ν)T(ν)=T(ν—ν)=T(0)=I 为恒等变换。

故[T(ν)]-1=T(ν). 平移变换T(ν)的逆变换通常记作T -1(ν),即T -1(ν)= [T(ν)]-1由定理1.2.2与定理1.2.3知，平面π上的所有平移变换构成的集合作成一个变换群（且是可交换的——元素的乘积满足交换律），这个群称为平移群。

由定理1.2.1知，平移群是运动群的一个子群。

定理 1.2.5 在平移变换下，两对应直线平行或重合；两对应线段平行且相等或共线且相等。

证明：设T(ν)是平面π的一个平移变换，ι是平面π的一条直线，l l v T '−−→−)(，在直线ι上任取两个不同的点A 、B 。

设',',)(B A B A V T −−→−，则A ＇、B ＇是直线ι＇上的两个不同的点。

由定理2.1知，AB B A =''。

故ι＇∥ι或ι＇=ι。

后一结论同样可由AB B A =''得出。

定理1.2.6 除恒等变换外，平移变换没有不动点；直线ι是平移变换T(ν)（ν≠0）的不变直线当且仅当ι∥ν。

证明： (1)设A 是平移变换T(ν)的一个不动点，则ν=0'=AA ，从而T(ν)=T(0)=I 为恒等变换。

因此，非恒等的平移变换没有不动点。

(2)在直线ι上任取一点A ，设')(A A v T −−→−，则有0'≠=v AA ，所以A A ≠'。

于是，由A ＇∥ν即知，ι是T(ν)的不变直线⇔点A ＇仍在直线ι上⇔ι∥ν。

2平移变换的相关公式2.1 点的平移变换公式[2]在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为(x ，y)，平移向量a →=（h ，k)，平移后的对应点为P ＇(x ＇，y ＇)，则有(x ，y) +（h ，k) = (x ＇，y ＇)，或表示为⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 。

可以这样理解：平移前点的坐标+平移向量的坐标=平移后点的坐标。

注：在平面直角坐标中，由⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 所确定的变换是平移变换。

2.2一次函数的平移变换公式[3] 2.2.1 一次函数的上下平移直线y=kx+b 向上平移m 个单位长度得到直线y=kx+b +m ，直线y=kx+b 向下平移m 个单位长度得到直线y=kx+b -m (m>0),即直线y=kx+b 上下平移∣m ∣个单位长度得到直线y=kx+b +m (当m ＞0时，向上平移；当m ＜0时，向下平移)，这是直线y=kx+b 上下(或沿y 轴)平移的规律． 这个规律可以简记为：⎪⎩⎪⎨⎧-+=−−−−−−−−→−+=++=−−−−−−−−→−+=>>m b kx y b kx y m b kx y b kx y m m m m 直线直线直线直线）个单位长度（向下平移）个单位长度（向上平移00 2.2.2 一次函数的左右平移直线y=kx+b 向左平移m 个单位长度得到直线y=k (x+m )+b ，直线y=kx+b 向右平移m 个单位长度得到直线y=k (x -m )+b (m>0)，即直线y=kx+b 左右平移m 个单位长度得到直线y=k (x+m )+b (当m ＞0时，向左平移；当m ＜0时，向右平移)，这是直线y=kx+b 左右(或沿x 轴)平移的规律．这个规律可以简记为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=−−−−−−−−→−+=++=−−−−−−−−→−+=>>b m x k y b kx y b m x k y b kx y m m m m )()(00直线直线直线直线）个单位长度（向右平移）个单位长度（向左平移 2.3 二次函数的平移变换公式对于形如y=ax 2＋bx+c （a≠0）的二次函数一般式的平移变换：图像向左右平移h 个单位，向上下平移k 个单位，就相当于将图像上的每一点坐标（x ，y ）作相应的变动，因此我们只要把平移后的坐标代入原函数的解析式，变形整理，即原函数图像经过平移后的函数解析式．其法则是：(1)当二次函数的图像向左或向右平移m （m ＞０）个单位时，原函数图像上任一点的横坐标x 变为x+m 或x-m ，而纵坐标不变．(2)二次函数的图像向上或向下平移n （n ＞０）个单位时，原函数图像上任一点的纵坐标y 变为y+n 或y-n ，而横坐标不变． 以上两点，可概括为：左加右减，上加下减．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0):(1)若把它沿x 轴方向向右平移h(h>0)个单位，则得到二次函数y=a(x-h)2+b(x-h)+c; (2)若把它沿x 轴方向向左平移h(h>0)个单位，则得到二次函数y=a(x+h)2+b(x+h)+c ； (3)若把它沿y 轴方向向上平移k(k>0)个单位，则得到二次函数y=(ax 2+bx+c)+k; (4)若把它沿y 轴方向向下平移k(k>0)个单位，则得到二次函数y=(ax 2+bx+c)-k 。