第二十三章—旋转一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。

）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

（3）旋转前、后的图形全等。

3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。

4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。

5、有关图形旋转的一些计算题和证明题例题练习1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°4.数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上滚动的足球C.工作中的风力发电机叶片D.传输带运输东西5.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC.其中正确的为( )A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且点D恰好在AC上,∠BAE=∠CDE=136°,则∠C的度数是（）8.如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.(1)求证:△FAC≌△BAE;(2)图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC,请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数.9.如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的动点(不与B,C重合),将线段AE 绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF,EF、AF分别与CD交于点M、N,连接EN,作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:BE=CG;(2)若BE=2,DN=3,求EN的长.二、中心对称图形1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2、中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平所平分。

（2）关于中心对称的两个图形是全等形。

3、作中心对称和图形的一般步骤（1）确定“代表性的点”；（2）作出每个代表性的点的对应点；（3）顺次连结。

4、中心对称图形的识别常见的几何图形，如：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆，26个大写英文字母（7个），正多边等要会识别，并指出对称中心。

5、两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系区别：（1）中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形。

（2）研究对象的个数不同，中心对称指两个图形，而中心对称图形只研究一个对象。

（3）中心对称图形的对称中心是图形自身或内部的点，而两个图形关于某点成中心对称，对称中心不定。

联系：两者均是关于点的对称，它们之间无绝对界限，当把两个图形看作整体时，即为中心对称图形，若把中心对称图形看作两部分则两部就可以关于一点成中心对称。

6、中心对称图形和轴对称图形的关系（1）对称轴条数为正偶数的轴对称图形是中心对称图形，对称中心是对称轴的交点；（2）对称轴条数相互垂直的轴对称图形是中心对称图形。

（3）轴对称图形是翻转180°与自身重合，而中心对称图形是旋转180°与自身重合。

例题练习1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）4. 下列图形中，不是中心对称图形的是（）5.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）8. 下列函数图象中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）三、关于原点对称的点的坐标1、关于原点对称的点的坐标特征：点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）.2、作关于原点成中心对称的图形的步骤：（1）写出各点关于原点对称的点的坐标；（2）在坐标平面内描出这些对称点的位置；（3）顺次连接各点即为所求作的对称图形。

例题练习1.在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是( )A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)2.在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( )A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)3.如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′点的坐标是_____________.4.如图所示,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-6,0),C(-1,0).(1)请直接写出点A关于点O对称的点的坐标: ;(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°,得到△A1B1C1,画出图形,并直接写出点A1、B1、C1的坐标.人教版数学九年级上册第二十三章考试试卷一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分)1．以下现象：①荡秋千；②转呼啦圈；③跳绳；④转陀螺．其中是旋转的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④2．下列A、B、C、D四幅“阿宝”图案中，能通过将图案(1)顺时针旋转180°得到的是（）3．下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（）4．如图所示，△ABC绕点A旋转至△AEF，其旋转角是（）A．∠BAE B．∠CAEC．∠EAF D．∠BAF第4题图第5题图5．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC 的中位线，经旋转后为线段E′D′.已知BC＝4，则E′D′等于（）A．2 B．3 C．4 D．1.56．图中的阴影旋转一个角度后，能互相重合，这个角度可以是（）A．30° B．45° C．120° D．90°第6题图第7题图7．如图所示的两个三角形是经过什么变换得到的（）A．旋转 B．旋转和平移C．轴对称 D．平移和轴对称8．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)关于原点对称的点的坐标为（）A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)9．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A(4，2)，则点A1的坐标是（）A．(4，－2) B．(－4，－2) C．(－2，－3) D．(－2，－4)10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD 绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为（）A．6 B．5 C．3 D．2第9题图第10题图11．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．① B．② C．③ D．④第11题图第12题图12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′的位置，则图中阴影部分的面积为（）A.12B.33C．1－33D．1－34二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．14．如图，将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角度都是50°.若∠B″OA＝120°，则∠AOB＝ .第14题图第15题图15．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm.若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°后，点B落在B′处，则BB′＝ cm. 16．如图，将等边△ABC绕顶点A按顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数为 .第16题图第17题图17．如图所示，已知抛物线C1，抛物线C2关于原点中心对称．若抛物线C1的解析式为y＝34(x＋2)2－1，那么抛物线C2的解析式为____________________．18．如图所示，将图形①以点O为旋转中心，每次旋转90°，则第2015次旋转后的是图形 (在下列各图中选填正确图形的序号即可)．三、解答题(本题共8小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．(10分)已知|2－m|＋(n＋3)2＝0，点P1、P2分别是点P(m，n)关于y轴和原点的对称点，求点P1、P2的坐标．20．(10分)如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，求BB′的长．21．(10分)如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．(1)指出它的旋转中心；(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；(3)分别写出点A、B、C的对应点．22．(10分)请你画出一条直线，把如图所示的平行四边形和圆两个图形分成面积相等的两部分(保留作图痕迹)．23．(12分)直角坐标系内的点P(x2－3x，4)与另一点Q(x－8，y)关于原点对称，试求2014(2x－y)的值．24．(12分)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F. (1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标；(2)当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．25．(12分)如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.(1)求点P与点P′之间的距离；(2)求∠APB的大小．26．(14分)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H.(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．人教版数学九年级上册第二十三章考试试卷答案1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.D 8.C 9.B10．D 11.B 12.C13．平行四边形(答案不唯一)14．20°15.4 5 16.60°17．y＝－34(x－2)2＋118．④解析：观察图形，将图形①以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，得到下一个图形，每旋转四次回到原来的位置，而2015＝503×4＋3，所以第2015次旋转后的图形与图形④一样．故答案为④.19．解：由|2－m|＋(n＋3)2＝0，得m＝2，n＝－3.(3分)∴P(2，－3)．(4分)∵点P1是点P关于y轴的对称点，∴P1的坐标为(－2，－3)．(7分)∵点P2是点P关于原点的对称点，∴P2的坐标为(－2，3)．(10分)20．解：设AC＝x，∵∠B＝30°，则AB＝2x，∴BB′＝2AB＝4x.(3分)在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴(2x)2＝x2＋12，解得x＝±33(负数舍去)．(8分)∴BB′＝433.(10分)21．解：(1)它的旋转中心为点A；(3分)(2)它的旋转方向为逆时针方向，(5分)旋转角是45度；(7分)(3)点A、B、C的对应点分别为点A、E、F.(10分)22．解：如图所示．(10分)23．解：由题意得y＝－4，(2分)x2－3x＝8－x，解得x1＝4，x2＝－2.(4分)当x＝4，y＝－4时，2014(2x－y)＝2014×(2×4＋4)＝24168；(8分)当x ＝－2，y＝－4时，2014(2x－y)＝2014×(－4＋4)＝0.(12分) 24．解：(1)△AEF如图所示．(3分)∵AO⊥AE，AO＝AE，∴点E的坐标是(3，3)，∵EF＝OB＝4，∴点F的坐标是(3，－1)；(7分)(2)∵点F落在x轴的上方，∴EF＜AO.(9分)又∵EF＝OB，∴OB＜AO，∵AO＝3，∴OB＜3.(11分)∴一个符合条件的点B的坐标是(－2，0)．(12分) 25．解：(1)由旋转的性质知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC，(4分)∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△P′AP是等边三角形，∴PP′＝6；(6分)(2)∵P′B＝PC＝10，PB＝8，∴P′B2＝P′P2＋PB2，∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB＝90°，(10分)∴∠APB＝∠P′PB＋∠P′PA＝90°＋60°＝150°.(12分)26．(1)解：FG⊥ED.(1分)理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，∴∠DEB＝∠ACB.∵把△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A.(4分)∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠DEB＋∠GFE＝90°，∴∠FHE＝90°，∴FG⊥ED；(7分)(2)证明：根据旋转和平移的性质可得，∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE.(9分)∵CG∥EB，∴∠CGE＝∠BEG＝∠BCG＝90°，∴四边形BCGE 是矩形．(12分)∵CB＝BE，∴四边形CBEG是正方形．(14分)。