U(x)
* 其定态薛定谔方程
2 2m
d 2( x)
dx2
U( x)( x)
E( x)
o
ax
9
(1) 在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 2m
d 2 ( x)
dx2
( x)
E( x)
x 0, x a
方程的解必处处为零。 ( x) 0
所以，粒子被束缚在阱内运动。
x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上
t)
1 2
1
(
x,
t)
3 2
2
(
x,
t
)
求叠加态的概率分布。
P12
|12 ( x, t)
|2
1 4
|1(x, t)
|2
3 4
| 2(x, t)
|2
3 cos( x) sin( 2
a
a
a
x) cos[(E2 E1)t / ]
12描述的不再是定态，两定态的叠加表示粒子从一定态到另 一定态的跃迁。若第三项表示振动电偶极子的电磁辐射。电磁 波的频率正是玻尔提出的原子发光的频率。
(0) 0,(a) 0
(2) 在阱内粒子势能为零，满足：
2 2m
d 2 ( x)
dx2
E( x)
o xa
10
2 2m
d 2 ( x)
dx 2
E ( x)
o xa
在阱内的薛定谔 方程可写为：
其中
k2
2m E 2
d 2 ( x)
dx2
2mE 2
(x)
k 2 ( x)
o xa
类似于简谐振子的方程，其通解：
组完备的本征函数展开,这组完备集满足正交性
* m
(
x)
n
(
x)dx
2 a
a sin( m x ) sin( n x )dx
0
a
a
1
a
a 0
cos(m
a
n
x)
cos(m a
n
x)dx
mn
mn 0, m n
mn 1, m n
所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征 值、独立完整的叠加在一起。
i
1 f (t)
df (t) dt
1 (r)
[
2 2m
2
U
(r)]
(r )
3
i
1 f (t)
df (t) dt
1 (r)
[
2 2m
2
U (r)] (r)
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边 必须等于同一个常数，设为E则有：
[ 2 2 U (r)] (r) E (r)
2m
i df (t ) Ef (t ) dt
t
2m
二、定态薛定谔方程
若作用在粒子上的势场U
(r)不显含时间
t
时，
薛定谔方程可用分离变量法求特解。
这相应于经典力学中粒子机械能守恒的情况。
设 : (r, t) (r) f (t)
i (r) df (t) 2
f
(t)2 (r)
U
(r)
(r )
f
(t )
dt
2m
两边除以(r) f (t)可得
下面以一维定态为例，求解已知势场的定态薛 定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而 看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。
8
• 一维无限深方势阱
已知粒子所处的势场为
U( x) 0, U( x) ,
0 xa x 0, x a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。
在阱外势能为无穷大，在阱壁上受
极大的斥力。称为一维无限深方势 阱。
提纲
§4 薛定谔方程 • 力场中粒子的薛定谔方程 • 定态薛定谔方程
§5 一维势阱问题 分立谱 • 一维无限深方势阱
* 薛定谔方程
* 标准化条件及解的物理意义 分立谱
例2.8 叠加态的物理意义 作业：2-5; 2-6; 2-7
1
§4 薛定谔方程
一、力场中粒子的薛定谔方程 如果粒子在势场 U (r)中运动，能量 E p2 U (r)
Hˆ ( x)
2 2m
d 2 ( x)
dx2
U( x) ( x)
E ( x)
U(x) 0 0 x a
Hˆ ( x)
2 2m
d2 dx 2
(
2 x 2 2
a sin a ) 2m a2
2 sin x
aa
2 2
E1 2m a2
能级公式
En
2 2
2ma 2
n2
2 2
n 1,2,3, E1 2ma 2
a
d2 dx2
sinx )dx
a
22 a
a 0
2
a2
sin2
x
a
dx
22
a2
5. 验证不确定关系
x 2
(x
x)2
x2
2
x
a2 3
a2
2 2
a2 4
a2 (1
12
6
2
)
a2
4 2
px2
( px
px )2
px2
2
px
22
a2
a
x px 2
a
2
20
6. 基态能（有三种求法）
已知基态波函数
本征能量：
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
称n为量子数；n(x) 为本征态；En 为本征能量
零点能的存在
2 2
E1 2ma 2
称为基态能量
能量是量子化的，由标准化（边界）条件而来。
能级间隔
En
En1
En
2 2 (2n 1)
2ma 2
14
图示:一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
( x) Asin(kx B)
代入边界条件得：(0) Asin B 0 (a) Asin(ka B) 0
所以， B 0; ka n n 1,2,3,
n不能取零，否则无意义 11
n不能取零，否则无意义。 除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外， 还有以下原因： 从能量的意义看，可有E 0，
(1
cos
2x )dx
a
a2 3
a2
2 2
2 x (1 cos x)dx
x3
2x cos x ( x2
2) sin x
3
a 2 x
d x
2i a x x
px
sin( )(i sin )dx
0a a
dx a
a
sin cos dx 0
0a a
a
px2
a 0
2 a
sin(x )(2
不确定关系
xp 2
取x a; p h 2a
估算得
E1
p2 2m
h2 8ma 2
2 2
2ma 2
21
实验上物理量的测量值，是各参加叠加态的可能的本征态的 本征值。可以用本征态出现的几率来计算物理量的平均值。
16
例2.8 叠加态的物理意义 (无限深势阱，坐标原点在阱中间p348)
1(x,t)
2 cos( x)e iE1t /
aa
2(x,t)
2 sin( 2 x)e iE2t /
aa
12 ( x,
[ 2 2 U (r)] (r) E (r)
2t) Hˆ (r, t) 以后我们只研究定态问题。
t
6
对量子力学做出突出贡献的科学家:
海森堡Heisenberg 德 1932 Nob 量子力学(矩阵力学)
薛定谔Schrodinger奥 1933 Nob 量子力学（波动力学）
(x) Asin( nx ),
a
n 1,2,3, 0 x a
由归一化条件 a A2 sin2( n x )dx 1
0
a
A 2 a
13
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
讨论
n ( x) 0,
x 0, x a
n(x)
2 sin( nx ),
a
a
n 1,2,3, 0 x a
4
时间部分： i df (t ) Ef (t ) dt
1 df (t ) E
f (t) dt
i
ln f (t) E t c i
f (t) Aexp( i Et)
可见E具有能量的量纲 与自由粒子波函数类比
它代表粒子的能量。
代入 (r, t) (r) f (t) 薛定谔方程的特解为
(r, t) (r) Aexp( i Et)
但能否E = 0呢？
在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中）， 由不确定关系可知，动量的不确定量应不为零，
所以动量P > 0， E > 0
k 2mE 0 。
12
因为
k2
2m E 2
ka n n 1,2,3,
结论：
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
n(x)
2 sin( nx ),
a
a
n 1,2,3, 0 x a
(x)
4x2
n4
4x 3x 2x
E4
E3
3x2
n3
2x2
n2
1x E1 o
E2
1 x 2