第二章 一维定态问题一 内容提要1 几个重要的一维定态问题[1] 一维无限深势阱 {0,00)(≤≥<<∞=x a x a x x V ,3,2,122222=μπ=n a n E n∞≥≤<<π⎩⎨⎧=ψx x a x a x n a x n ,000s i n 2)( [2] 一维线性谐振子2221)(x x V μω= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H e N x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] [3] 定轴转动子IL H2ˆˆ2ϕ=Im E n 222 =),3,2,1,0(21 =π=ψϕm e im n2 一维定态问题的性质 设)()(*x V x V =[1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解，那么)(x *ψ也是定态S.eq 的解。
[2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。
[3] 如果)(x V 是x 的连续函数，那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的；如果)(x V 为阶梯形方势⎩⎨⎧><=a x V a x V x V 21)(且12V V -有限，那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的； 如果∞→-12V V 时，那么)(x ψ连续而)('x ψ不连续；二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中，{0,00)(≤≥<<∞=x a x a x x V ， 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子，)61(12)(2/2222π-=-=n a x x a x讨论∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。
证明：2sin2)(0202a dx a x n x a dx x x x aan =π=ψ=⎰⎰ )61(124)()(2220222222π-=-ψ=-=-⎰n a a dx x x x x x x an 经典情况下，在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为adx则 20a a dx x x a==⎰ 32022a a dx x x a==⎰ 1243)(222222a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中，粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ，A 为归一化常数。
[1] 求A ；[2] 粒子处于能量本征态ax n ax n π=ψsin 2)(的几率n P 。
解：[1] 由归一化条件⎰⎰+∞∞-=-=ψadx x a Ax dx x 0221)]([)( 得530a A = 所以)(30)(5x a x ax -=ψ [2] )(x ψ用)(x n ψ展开，)()(x c x nnψ=ψ∑)c o s 1(154)()(33π-π=ψψ=⎰n n dx x x c n n 2662])1(1[240n nn n c P --π== 999.0])1(1[2402161≈--π=P 这表明)(x ψ与)(1x ψ的几率几乎相同。
3设粒子处于一维无限深势阱中的基态)1(=n ，设0=t 时势阱宽突然变为a 2，粒子的波函数来不及改变，即axa x x π=ψ=ψsin 2)()0,(1 问 [1] )0,(x ψ是否还是能量本征态？ [2] 粒子处于能量1E 的几率。
解：[1] 加宽后的一维无限深势阱的能量本征值和本征态分别是：22228a n n μπ=ε )0(2s i n 1)(a x ax n a x n <<π=ϕ这表明)0,(x ψ不是能量本征态。
当2=n 时 12E =ε [2] 将)0,(x ψ按照)(x n ϕ展开∑ϕ=ψ)()0,(x c x nndx x x dx x x dx x x c aan ann )0,()()0,()()0,()(20*ψϕ+ψϕ=ψϕ=⎰⎰⎰+∞∞-=dx x x an )0,()(0ψϕ⎰ 得212=c 所以粒子处于2ϕ上能量为12E =ε，出现的几率为2/122=c4 计算能量0>E 的粒子穿透δ势垒)()(0x V x V δ= )0(0>V 的透射系数。
解：相应的定态S.eq 为)()()](2[0222x E x x V dx d ψ=ψδ+μ- （1） 其解为：⎩⎨⎧><+=ψ-00)(x Cex Be e x ikxikxikx （2） 其中：222E k μ= 波函数在0=x 处必须满足的连续条件得：波函数值连续： C B =+1 （3）波函数的一阶导数是不连续的，对（1）两边作积分运算)0(00→ε⎰ε+ε-dx得：)0(2)0()0(02''ψμ=ψ-ψ-+V （4） 即： C V B C ik 022)1(μ=+- （5）由（3）、（5）两式解得： 2011k V i C μ+=（6） 于是透射系数 220422022221111// E V k V Ck C k j j T μ+=μ+==μμ==入透 （7）反射系数为：T R -=1 （8）x5 粒子在一维势场{0)(><∞=x x x V 中运动求归一化波函数。
解：粒子没有束缚态。
设粒子的能量为0>E 则定态S.eq 为E E E x V dx d m ψ=ψ+-)](2[222 （1）当0<x 时 由于∞→)(x V 则有： 01=ψE （2）当0≥x 时 由于0)(=x V 由（1）式得：222222E E E dxd m ψ=ψ- （3） 令0222>=mEk 则有：)sin(2δ+=ψkx A E （4） 由 （2）、（4）得： {0)sin(0≥<δ+=ψx x kx A E （5） 又有在0=x 处连续的条件021==ψ=ψx E x E 得： 0=δ （6）则 {0sin 0≥<=ψx x kxA E （7） 下面求归一化系数A由于0>E 且为连续谱，故（7）可归一化为δ函数。
则有⎰⎰∞*∞∞-*==ψψ=-δ0''s i n s i n )()()(''k x d x x k A A dx x x E E k k E E ⎰∞*+--0''])c o s ()[c o s (21'dx x k k x k k A A k k利用公式 ⎰∞δ=π0)(cos 1x kxdx 得=-δ)('E E )]()([2'''k k k k A A k k+δ--δπ*因为 0'≠+k k 所以 0)('=+δk k则 =-δ)('E E )]([2'2k k A k -δπ （8）又有公式)(1)(x x δα=αδ 、 aa x a x a x 2)()()(22-δ++δ=-δ 得)()]()([212)(2)('2'''22'22'k k k m k k k k k m k k m E E -δ=-δ++δ=-δ=-δ（9） 将（9）代入（8）得：)(2)('2'2k k A k k k m k -δπ=-δ得： 41222)2(2Em k m A π=π= （10）6 一个质量是m 的粒子在一维无限深势阱)0(a x ≤≤中运动，t=0时刻的初态波函数为ax a x a x ππ+=ψsin )cos 1(58)0,( [1] 求在任意时刻t 的波函数；[2] 体系在 t=0 和任意时刻t 的平均能量； [3] 在时刻t ，在势阱的左半部)20(ax ≤≤发现粒子的几率。
解：=ππ+=ψa x a x a x sin )cos 1(58)0,()sin 2(54a x a π+)2sin 2(51a x a π215154ψ+ψ=[1]=ψ=ψ∑- /),(t iE n n n e c t x /2/1215154t iE t iE e e --ψ+ψ [2] t=0时22221*545154)0,(ˆ)0,(maE E dx x H x E π=+=ψψ>=<⎰同理可得任意时刻t 能量平均值同上。
[3]dx mat a x a x a a x a a x a dx t x t x a a )23cos 2sin sin 582sin 52sin 58(),(),(2222/022/0*πππ+π+π=ψψ⎰⎰ dx mata x a x a a x a a x a a ]23cos )3cos (cos 54)4cos 1(51)2cos 1(54[222/0ππ-π+π-+π-=⎰2223cos 151621mat ππ+=三 练习1 粒子在一维δ势阱中运动)()(x x Vv αδ-=，求粒子的束缚态能级与相应的归一化定态波函数。
[222222 α-=-=m m k E ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<α>α=ψαα-0)(22//x em x e m x x m x m] 2 粒子限制在二维无限深势阱中运动。
⎩⎨⎧∞<<<<=其他地方by a x y x V 0,00),(求粒子能级与波函数。
3 试求一维无限深势阱的中心为坐标原点，阱宽为a 。
试求能级与波函数。
4 量子体系的平面转子具有转动惯量z I ，转角为ϕ [1] 求体系的能级和波函数；[2] 在t=0时转子的波函数是ϕ2sin A ，求在0>t 时的波函数),(t ϕψ 注：（)2ˆ2ZZ I L H=[答案：)2,1,0(2,21)(22 ±±==π=ϕψϕm I m E e zm im ]5 粒子从右边入射，且粒子能量0V E >，求一维阶梯势的反射和透射系数，阶梯势为 0)0(00)(00<>>⎩⎨⎧=x V x V x V[答案：40202)(E V E V R+-=， 221R T-= ，当E V 430=时912=R ] 6一维无限深势阱中粒子质量为μ，势函数形式为 0,0)(0≤≥<<⎩⎨⎧∞=x a x a x V x V 求定态波函数和相应能量。
[答案： ,3,2,1202222=+μπ=n V an E n ，∞≥≤<<π⎩⎨⎧=ψx x a x a x n a x n ,000sin 2)(]。