1向量及向量的加减法5．1 向量及向量的加减法要点透视：1．由于«Skip Record If...»的方向是任意的，且规定«Skip Record If...»平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．3．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．4．向量的几何加法有两种法则：平行四边形法则和三角形法则．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：«Skip Record If...»，但这时必须“首尾相连”．活题解析：例1．给出下列命题：①若|«Skip Record If...»|＝|«Skip Record If...»|，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»；②若A，B，C，D是不共线的四点，则«Skip Record If...»是四边形ABCD为平行四边形的充要条件：③若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，④«Skip Record If...»=«Skip Record If...»的充要条件是|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|且«Skip Record If...»//«Skip Record If...»；⑤若«Skip Record If...»//«Skip Record If...»，«Skip Record If...»//«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»//«Skip Record If...»，其中正确的序号是。

要点精析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵ «Skip Record If...»，∴ «Skip Record If...»且«Skip Record If...»，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，«Skip Record If...»且«Skip Record If...»，因此，«Skip Record If...»．③正确．∵ «Skip Record If...»=«Skip Record If...»，∴ «Skip Record If...»，«Skip Record If...»的长度相等且方向相同；又«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，∴ «Skip Record If...»，«Skip Record If...»的长度相等且方向相同，∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的长度相等且方向相同，故«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．④不正确．当«Skip Record If...»//«Skip Record If...»且方向相反时，即使|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|，也不能得到«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，故|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|且«Skip Record If...»//«Skip Record If...»不是«Skip Record If...»=«Skip Record If...»的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑«Skip Record If...»=«Skip Record If...»这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．思维延伸：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，试用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»将向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， «Skip Record If...»表示出来．要点精析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可．解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C 四点构成平行四边形ABCO，所以«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»=«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»= «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以«Skip Record If...»=«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=2«Skip Record If...»+«Skip Record If...»，同样在平行四边形BCDO中，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋(«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»)＝«Skip Record If...»＋2«Skip Record If...»，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...».思维延伸：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示，且可用规定其中任两个向量为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，另外任取两点为起点和终点，也可用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示．例3．求证：起点相同的三个非零向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，3«Skip Record If...»－2«Skip Record If...»的终点在同一条直线上．要点精析：证明：设起点为O，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»b，«Skip Record If...»＝3«Skip Record If...»－2«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=2(«Skip Record If...»－«Skip Record If...»)，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∵ «Skip Record If...»共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，3«Skip Record If...»－2«Skip Record If...»的终点在同一直线上．思维延伸：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：①证明向量平行；②说明两个向量有公共点，用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点．练习题一、选择题1．在下列各命题中，为真命题的有（）（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量（4）坐标平面上的x铀和y轴都是向量A．1个B．2个C．3个D．42．已知命题P：非零向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，满足«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．命题Q：表示«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的有向线段可构成三角形，则P是Q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．下列命题中，正确的是（）A．|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»B．|«Skip Record If...»|>|«Skip Record If...»|«Skip Record If...»«Skip Record If...»>«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»//«Skip Record If...»D．|«Skip Record If...»|=0«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»4在平行四边形ABCD中，«Skip Record If...»，则必有（）A．«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»或«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形5．下列命题：(1) 如果非零向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的方向相同或相反，那么«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»的方向必与«Skip Record If...»，«Skip Record If...»之一方向相同；(2) 三角形ABC中，必有«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»；(3) 若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，则A，B，C为三角形的三个顶点；(4) 若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»均为非零向量，则|«Skip Record If...»+«Skip Record If...»|与|«Skip Record If...»|+|«Skip Record If...»|一定相等，其中假命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．化简以下各式：（1）«Skip Record If...»；（2） «Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»结果为零向量的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：7．若«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»垂直，则|«Skip Record If...»|= ；«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的夹角为．8．若点P为三角形△ABC的外心，且«Skip Record If...»，则三角形的内角C= .9．两个非零向量的模相等是两个向量相等的条件．10．已知点M是△ABC的重心，则«Skip Record If...»= .三、解答题：11．如图所示，三角形ABC的外接圆的圆心为O，三条高的交点为H，连接BO并延长交外接圆于D．求证：（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...».12．如图所示，OA DB是以向量«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»为边的平行四边形，又«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示«SkipRecord If...»．13．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上，取点E，F，使BE=DF，用向量的方法证明，四边形AECF也是平行四边形．14．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，（1）用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示向量«Skip Record If...»；（2）求证B，E，F三点共线．15．某人在静水中游泳，速度为4«Skip Record If...»km／h．（1）如果他径直游向河对岸，水流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进，实际前进的速度大小是多少？。