高考数学一轮复习 单元能力测试卷9一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．若曲线x 2m ＋4＋y 29＝1的一条准线方程为x ＝10，则m 的值为( ) A ．8或86 B ．6或56 C ．5或56D ．6或86答案 D解析 由准线是x ＝10及方程形式知曲线是焦点在x 轴上的椭圆，所以a 2＝m ＋4，b 2＝9，则c ＝m －5，于是m ＋4m －5＝10，解得m ＝6或86.∵m ＋4>9，∴m >5，均符合题意． 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积为S ＝abπ，现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为(4,0)，且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为( )A ．15π B.154π C ．3πD.2554π 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝42，2a －2b ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝16，a －b ＝1，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ＝172，b ＝152.所以S ＝abπ＝172×152π＝2554π.3．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 12)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 12＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 12＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．4．设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为(9,2)，则|MA |＋35|MF 2|的最小值为( )A ．9 B.365 C.425D.545答案 B解析 双曲线标准方程为x 29－y 216＝1，离心率为53，运用第二定义，将35|MF 2|转化为M 到右准线的距离．5．抛物线y ＝－ax 2(a ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a4)B ．(0，14a )C ．(0，－14a )D ．(0，－a4)答案 C解析 因为a ＜0，所以方程可化为x 2＝1－a y ，所以焦点坐标为(0，－14a)．故选C.6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40，∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于( )A.13 B.33 C.12D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.8．设双曲线以椭圆x 225＋y 29＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±2B ．±43C ．±12D ．±34答案 C解析 椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，c ＝4.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．所以c ＝5，a 2c ＝4.所以a 2＝20，b 2＝c 2－a 2＝5.所以双曲线方程为x 220－y 25＝1.所以其渐近线方程为y ＝±520x ＝±12x ，所以其斜率为±12.解决此题关键是分清椭圆与双曲线中的a ，b ，c 关系，这也是极易混淆之处． 9．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形答案 C解析 由x 23＋y 24＝1知a ＝2，b ＝3，c ＝1，e ＝12.则|MF 1|＋|MF 2|＝4， 又|MF 1|－|MF 2|＝1.∴|MF 1|＝52，|MF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2.∴|MF 1|>|F 1F 2|>|MF 2|，cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2||F 1F 2|＝0，∴∠MF 2F 1＝90°.即△MF 1F 2是直角三角形．10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF的面积为a 22(O 为原点)，则两条渐近线的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 D解析 由y ＝b a x 和x ＝a 2c 得A (a 2c ，abc)，∴S △＝12·ab c ·c ＝12ab ，又∵S △＝12a 2，∴a ＝b ，∴其夹角为90°.11. 已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 B解析 因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0得6x ＋32＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x ，所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.12．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →·CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y D ，|AB →|·|CD →|＝y A y D ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y D ＝p 2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________． 答案2－1解析 令AB ＝2，则AC ＝22，∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋2， 可得e ＝c a＝12＋1＝2－1.命题思路 本题考查椭圆概念和基本量的关系．14．若焦点在x 轴上的椭圆x 245＋y 2b2＝1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b的取值范围是________．答案 －3102≤b ≤3102且b ≠0解析 设椭圆的两焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足c ≥b ，从而得c 2≥b 2⇒a 2－b 2≥b 2⇒b 2≤12a 2＝452，解得－3102≤b ≤3102且b ≠0. 15．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22围成的三角形区域(包含边界)为E ，P (x ，y )为该区域的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．答案 －2216．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． 答案 ③④解析 ①错误，当k >0且k <|AB |，表示以A 、B 为焦点的双曲线的一支；当k >0且k ＝|AB |时表示一条射线；当k >0且k >|AB |时，不表示任何图形；当k <0时，类似同上．②错误．P是AB 中点，且P 到圆心与A 的距离平方和为定值．故P 的轨迹应为圆．③④正确，很易验证．多选题的特点是知识点分散，涉及面广，且只有每一个小题都做对时才得分．故为易错题，要求平时掌握知识点一定要准确，运算要细致．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)被直线y ＝2x －4截得的弦AB 长为3 5. (1)求抛物线的方程；(2)设直线AB 上有一点Q ，使得A 、Q 、B 到抛物线的准线的距离成等差数列，求Q 点坐标． 解析 (1)将y ＝2x －4代入y 2＝2px 得 (2x －4)2＝2px ，即2x 2－(8＋p )x ＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8＋p2，x 1x 2＝4. 所以|AB |＝1＋22[8＋p 22－4×4]＝3 5.所以p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)①当x >－1时，设Q (x ，y )，因为抛物线的准线为x ＝－1. 所以由题意得2(x ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)． 即x ＝x 1＋x 22＝52，所以y ＝2x －4＝1. 即Q 点坐标为(52，1)．②当x <－1时，2(－x －1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋2) ∴x ＝－x 1＋x 22－2＝－92，y ＝－13∴Q ＝(－92－13)综上，Q 为(52，1)或(－92，－13)．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0，－3)和F 2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆．设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM →＝OA →＋OB →.求：(1)点M 的轨迹方程； (2)|OM →|的最小值．解析 (1)椭圆方程可写为y 2a 2＋x 2b 2＝1，式中a >b >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，3a＝32.得a 2＝4，b 2＝1，∴曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1(x >0，y >0)．y ＝21－x 2(0<x <1)，y ′＝－2x 1－x2.设P (x 0，y 0)，因P 在C 上，有0<x 0<1，y 0＝21－x 02，y ′|x ＝x 0＝－4x 0y 0，得切线AB 的方程为y ＝－4x 0y 0(x －x 0)＋y 0.设A (x,0)和B (0，y )，由切线方程得x ＝1x 0，y ＝4y 0. 由OM →＝OA →＋OB →得M 的坐标为(x ，y )，由x 0，y 0满足C 的方程，得点M 的轨迹方程为 1x2＋4y2＝1(x >1，y >2)．(2)∵|OM →|2＝x 2＋y 2，y 2＝41－1x 2＝4＋4x 2－1， ∴|OM →|2＝x 2－1＋4x 2－1＋5≥4＋5＝9，且当x 2－1＝4x 2－1，即x ＝3>1时，上式取等号． 故|OM →|的最小值为3.19．(本小题满分12分)已知点A (3,0)，点B 在x 轴上，点M 在直线x ＝1上移动，且MA →·MB →＝0，动点C 满足MC →＝3BC →.(1)求C 点的轨迹D 的方程；(2)设直线l ：y ＝k (x －1)与曲线D 有两个不同的交点E ，F ，点P (0,1)，当∠EPF 为锐角时，求k 的取值范围．解析 (1)设M (1，y 0)，C (x ，y )，B (b,0)． ∵MC →＝3BC →，∴b ＝1＋2x 1＋2，0＝y 0＋2y 1＋2.①又MA →·MB →＝0， MA →＝(2，－y 0)，MB →＝(b －1，－y 0)，∴2(b －1)＋y 02＝0.②由①②得y 2＝13(1－x )，这就是C 点的轨迹D 的方程．(2)l ：y ＝k (x －1)代入y 2＝13(1－x )得3k 2x 2＋(1－6k 2)x ＋3k 2－1＝0，解得x 1＝1，x 2＝3k 2－13k 2，则y 1＝0，y 2＝－13k . 设E (1,0)，则F (3k 2－13k 2，－13k)， PE →＝(1，－1)，PF →＝(3k 2－13k 2，－13k－1)． 当∠EPF 为锐角时，PE →·PF →＝3k 2－13k 2＋(13k ＋1)>0，解得k <－12或k >13. 当PF →＝λPE →时，有k ＝－1，应舍去．故k 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1，－12)∪(13，＋∞)．20．(本小题满分12分)如右图所示，等腰三角形ABC 的底边BC 的两端点是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，且AB 的中点D 在椭圆E 上．(1)若∠ABC ＝60°，|AB |＝4，试求椭圆E 的方程； (2)设椭圆离心率为e ，求cos ∠ABC .解析 (1)因为∠ABC ＝60°，且△ABC 为等腰三角形，所以△ABC 是正三角形． 又因为点B ，C 是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c ，则2c ＝|BC |＝|AB |＝4，如右图所示，连结CD ，由AB 中点D 在椭圆上，得2a ＝|BD |＋|CD |＝12|AB |＋32|AB |＝2＋23，所以a ＝1＋3，从而a 2＝4＋23，b 2＝a 2－c 2＝23， 故所求椭圆E 的方程为x 24＋23＋y 223＝1.(2)设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a ，b ，c ，且|AD |＝|DB |＝m ，连结CD ， 则|BO |＝|OC |＝c ，|DC |＝2a －m ， 在Rt △AOB 中，cos ∠ABC ＝c2m.① 在△BCD 中，由余弦定理，得 cos ∠ABC ＝2c2＋m 2－2a －m 22×2c ×m.②由①②式得2m ＝2a 2－c 2a ，代入①式得cos ∠ABC ＝ac 2a 2－c 2＝e2－e2.21．(本小题满分12分)如右图所示，F 1(－3,0)，F 2(3,0)是双曲线C 的两焦点，直线x ＝43是双曲线C 的右准线，A 1，A 2是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于A 2的一个动点，直线A 1P ，A 2P 交双曲线C 的右准线分别于M ，N 两点．(1)求双曲线C 的方程； (2)求证：F 1M →·F 2N →是定值．解析 (1)由已知，c ＝3，a 2c ＝43，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5.所以所求双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，M ，N 的纵坐标分别为y 1，y 2，因为A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 所以A 1P →＝(x 0＋2，y 0)，A 2P →＝(x 0－2，y 0)，A 1M ＝(103，y 1)，A 2N →＝(－23，y 2)．因为A 1P →与A 1M 共线， 所以(x 0＋2)y 1＝103y 0，所以y 1＝10y 03x 0＋2.同理，y 2＝－2y 03x 0－2.因为F 1M →＝(133，y 1)，F 2N →＝(－53，y 2)．所以F 1M →·F 2N →＝－659＋y 1y 2＝＝－659－20y 029x 02－4＝－659－20×5x 02－449x 02－4＝－659－259＝－10.22．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)和F 2(c,0)(c >0)，过点E (a 2c，0)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |.(Ⅰ)求椭圆的离心率； (Ⅱ)求直线AB 的斜率；(Ⅲ)设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线F 2B 上有一点H (m ，n )(m ≠0)在△AF 1C 的外接圆上，求n m的值．解析 (Ⅰ)由F 1A ∥F 2B 且|F 1A |＝2|F 2B |，得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12，从而a 2c －c a 2c＋c ＝12.整理，得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. (Ⅱ)由(Ⅰ)，得b 2＝a 2－c 2＝2c 2.所以椭圆的方程可写为2x 2＋3y 2＝6c 2.设直线AB 的方程为y ＝k (x －a 2c)，即y ＝k (x －3c )．由已知设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则它们的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3c ，2x 2＋3y 2＝6c 2.消去y 并整理，得(2＋3k 2)x 2－18k 2cx ＋27k 2c 2－6c 2＝0. 依题意，Δ＝48c 2(1－3k 2)>0，得－33<k <33. 而x 1＋x 2＝18k 2c2＋3k2，①用心 爱心 专心 - 11 - x 1x 2＝27k 2c 2－6c 22＋3k 2.② 由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 x 1＋3c ＝2x 2.③ 联立①③解得x 1＝9k 2c －2c 2＋3k 2，x 2＝9k 2c ＋2c 2＋3k 2. 将x 1，x 2代入②中，解得k ＝±23. (Ⅲ)解法一 由(Ⅱ)可知x 1＝0，x 2＝3c 2. 当k ＝－23时，得A (0，2c )，由已知得C (0，－2c )． 线段AF 1的垂直平分线l 的方程为y －22c ＝－22(x ＋c 2)，直线l 与x 轴的交点(c 2，0)是△AF 1C 的外接圆的圆心．因此外接圆的方程为(x －c 2)2＋y 2＝(c 2＋c )2. 直线F 2B 的方程为y ＝2(x －c )，于是点H (m ，n )的坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ m －c 22＋n 2＝9c 24，n ＝2m －c .由m ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝53c ，n ＝223c ，故n m ＝225. 当k ＝23时，同理可得n m ＝－225. 解法二 由(Ⅱ)可知x 1＝0，x 2＝3c 2. 当k ＝－23时，得A (0，2c )，由已知得C (0，－2c )． 由椭圆的对称性知B ，F 2，C 三点共线．因为点H (m ，n )在△AF 1C 的外接圆上，且F 1A ∥F 2B ，所以四边形AF 1CH 为等腰梯形．由直线F 2B 的方程y ＝2(x －c )，知点H 的坐标为(m ，2m －2c )．因为|AH |＝|CF 1|，所以m 2＋(2m －2c －2c )2＝a 2，解得m ＝c (舍)或m ＝53 c ．则n ＝223c .所以n m ＝225. 当k ＝23时，同理可得n m ＝－225.。