值域的求解一、知识梳理：1、函数值域的定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的y 的取值的集合，叫做函数()y f x =的值域。

2、函数的最值：对于函数()y f x =，()x D ∈.若对于任意的x D ∈都有()f x ≥M(≤M)且存在0x D ∈,使得0()f x M =成立，则M 叫做()f x 的最大（小）值.统称函数的最值。

3、确定函数的值域的原则：当函数()f x 是用表格给出时，其值域是表格中所有实数y 的值的集合。

当函数()y f x =是以图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的值的集合。

函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由定义域及其对应法则唯一确定。

当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

4、常用方法：Ⅰ、基本函数性质法（直接法）对于基本初等函数以及由它们组成的简单函数的值域的求解，常利用函数的单调性及 不等式的性质直接观察求解。

例1：求下列函数的值域：（1）21y x =+ （2）21y x =-+ [1,2]x ∈（3）1y =（4）2y =(5)函数21y x =-的定义域是(,1)[2,5)-∞，则其值域为（6）函数()f x =21()1x R x ∈+的值域是练习：1、设函数()f x 的定义域为R,有下了三个命题：① 若存在常数M ，使得对任意x R ∈,有()f x ≤M ，则M 是函数()f x 的最大值。

② 若存在0x R ∈,使得对任意x R ∈，且0x x ≠，都有()f x ()0f x ≤，则0()f x 是函数的最大值。

③ 若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有()f x ()0f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值。

其中正确的是（ ）A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③2、若函数()f x =log (01)a x a <<在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=3、函数()f x =log (1)x a a x ++在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a=Ⅱ.配方法：针对于给定区间上的二次函数或形如“2()()()(0)F x af x bf x c a =++≠的函数值域的求解，其关键是分析对称轴与所给定义域的关系。

例2：求下列函数的值域：①246,[1,5]y x x x =-+∈ ②2263,(11)y x x x =-+-≤≤③2()2,[1,2]f x x ax a x =-+∈ ④()f x =22x x -，[,1]x t t ∈+⑤设02x ≤≤，求函数()f x =124325x x --⋅+的最值。

⑥已知()f x =2+3log x (19)x ≤≤求函数22[()]()y f x f x =+的最大值。

练习：1.函数()f x =24x x -+在[,m n ]上的值域为[-5,4],则m+n 的值所成的集合为（ ） A,[0,6] B.[-1,1] C.[1,5] D.[1,7]2. 函数()f x =2+22x x -，[0,3]x ∈的值域为3. 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是4.已知函数223y x x =-+在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的最值范围是（ ）A.1m ≥B.02m ≤≤C.2m ≤D.12m ≤≤Ⅲ. 换元法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一类函数，从而求得值域的方法，一般地，形如：()y ax b =+±（a,b,c,d 均为常数，且ac ≠0）的x k ≤得条件或某些特定的条件最值问题常用三角函数换元.例3：求下列函数的值域①23y x =- ②y x =例4：已知实数x,y 满足22(1)1x y +-=，①求2x+y 的取值范围②若x+y+C ≥0恒成立，求实数C 的取值范围。

1.求下列函数的值域①2y x =+ ② y x =- ③y =2. 已知224x y +=，求2x+3y 的取值范围。

3. 求证：1122x -≤≤4.已知函数y =M ,最小值为m ,则mM 的值为( )(A)14 (B)12 (C)2 (D)2Ⅳ. 分离常数法：针对形如()f x =ax b cx d ++ (a,c 均不为0)的函数值域的求解（除d x c≠-外，x 没有其他限制条件）处理方法：将分子化为分母的一次函数形式，利用分数的运算法则还原，使得自变量在分子中消失，把自变量的系数分离出来。

例5：求函数()f x =213x x +-的值域1.求下列函数的值域：①2731x y x -=- ②125x y x -=+ ③34x y x +=-2.若()f x =12ax x -+在(2)-∞-上单调递减，则实数a 的取值范围Ⅴ. 判别式法：把原函数转化为关于x 的二次方程(,)0f x y =，通过方程有实根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，一般地形如：21112222a xb xc y a x b x c ++=++，（12,a a 不同时为0）的函数值域常用此法求得。

注意：若21112222a xb xc y a x b x c ++=++的分子，分母有公因式可约，则约去公因式后应用分离常数法，但要注意约去公因式的条件，要将此条件下的x 值代入约取公因式后的式子中，求出相应的y 值后在值域中排除。

例6：求函数22232372x x y x x --=-+的值域.例7：已知()f x =21ax b x ++的值域为[-1,4],求a,b 的值。

Ⅵ. 不等式法：利用基本不等式a b +≥a b c ++≥，2a b +≤求函数值域方法.要注意“一正二定三相等’缺一不可。

一般的特定结构的二元条件最值问题常用此法。

例8：求下列函数的值域①2y x x =+（x>0） ②1y x x=+ ③(5)y x x =- （0<x<5）⑦ 2(4)(02)y x x x =-<< ⑧22(0)x x y x x ++=>⑨24813(1)6(1)x x y x x ++=>-+的最小值是 .例9: ①已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。

②已知x>0,y>0.且191x y+=，求x+y 的最小值。

③已知a>0,b>0,2212b a +=,求.④当a,b (0,)∈+∞且a+b=3.练习：1.若不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈1(0,]2成立，则a 的最小值为（ ） A.0 B .-2 C.52- D .-32 .函数y=log a (x+3)-1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0，则12m n+的最小值为 .Ⅶ. 导 数 法：设()y f x =的导数为/(),f x 由/()0f x =可求得极值点坐标，若函数定义域为[a,b],则最值必为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值，再者，开区间上的函数，若极值点只有一个，则该极值就是最值。

若开区间上的函数若极值点在两个或两个以上，则应结合函数的定义域及解析式分析出函数的大致图像，观察求解。

例10：已知()f x =3239x x x a -+++ （1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

例11：已知()f x =21x a x bx -++是奇函数 （1）求a,b 的值。

（2）求()f x 的单调区间，并加以证明 （3）求()f x 的值域。

练习：1. 求函数()f x =1ln x x+的值域.Ⅷ. 图像法：（数形结合法）.针对指数、对数函数、含绝对值的函数，以及最大或最小函数的最值问题或与之有关 的大小比较问题。

例12：对于a,,b R ∈,记{},max ,,b a b a b a a b <⎧=⎨≥⎩函数()f x ={}max 1,2,x x x R +-∈的最小值是（ ）A. 0B.12 C. 32D. 3 练习: 1. 定义,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩ 则函数()f x =33x x -⊗的值域为 .2. 对任意的函数()f x ，()g x 在公共定义域内，规定()f x *()g x ={}min (),()f x g x ，若()f x =3-x, ()g x则()f x *()g x 的最大值为 .3. 已知函数()f x =21x -，()g x =1-2x ，(),()()()(),()()f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则F(x)有最值 ，无最 值。

4.已知11222112log ,log ,log 22b ca abc ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a,b,c 的大小关系为： .5.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===则a,b,c 的大小关系为：6．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ）A ．周期函数，最小正周期为3π B ．周期函数，最小正周期为32π C ．周期函数，数小正周期为π2 D ．非周期函数7．已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是（ ）A ．21B ．23C ．27 D ．5。