求函数解析式的基本方法
求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法
根据函数的定义求其解析式的方法。
例1. 已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。
解：因为
)
1x (1x )x (f ,
11x ,
1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以
二、换元法
已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ，进行换元，从而求出)x (f 的方法。
例2. 同例1。
解：令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则，
所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=，
所以)1x (1x )x (f 2≥-=。
评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。
三、方程组法
根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。
解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ①
1x )x (f 2)x (f +-=-+∴
② ②①-⨯2得1x 3)x (f 3+=， 所以31x )x (f +=。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法
通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-，求)x (f 的解析式。
解：令
x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得， 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得，
所以0)0(f =，
所以
)R x (x x )x (f 2∈+=
五、待定系数法
已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
例5. 已知二次函数)x (f 的二次项系数为a ，且不等式x 2)x (f ->的解集为（1，3），方程0a 6)x (f =+有两个相等的实根，求)x (f 的解析式。
解：因为的0x 2)x (f >+解集为（1，3），
设0a ),3x )(1x (a x 2)x (f <--=+且，
所以x 2)3x )(1x (a )x (f ---=
a 3x )a 42(ax 2++-=
①
由方程0a 6)x (f =+ 得0a 9x )a 42(ax 2=++- ②
因为方程②有两个相等的实根，
所以0a 9a 4)]a 42([2=⋅-+-=∆，
即,01a 4a 52=-- 解得51a 1a -==或 又51
a ,0a -
=<所以，
将51
a -=①得
53x 56x 51)x (f 2---=。
六、函数性质法
利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。
例6. 已知函数)x (f y =是R 上的奇函数，当
)x (f ,13)x (f ,0x x 求时-=≥的解析式。
解析：因为)x (f 是R 上的奇函数，
所以)x (f )x (f ),x (f )x (f --=-=-即，
当0x ,0x >-<时，
13)13()x (f )x (f x x +-=--=--=--
所以
⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=-0x ,130x ,13)x (f x x
函数值域的八大求法
方法一：观察法
例1. 求函数2x 4y -=的值域。
解析：由]2,0[x 4,0x 40x 222∈-≥-≥知及。
故此函数值域为]2,0[。
评注：此方法适用于解答选择题和填空题。
方法三：反函数法
例3. 求函数)4x (2x 1x y -≥+-=的值域。
解析：由2x 1x y +-=得
y 11y 2x -+=。
由4x -≥，得4y 11y 2-≥-+，解得1y 25y <≥或。
∴此函数值域为),25[)1,(+∞⋃-∞。
评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于x 为一次的情形。
方法四：分离常数法 注意形如)ad bc ,0a (b ax d cx y ≠≠++=的值域为),a c ()a c ,(+∞⋃-∞。
方法五：判别式法
例5. 求函数
1x x 1x y 22--+=的值域。
解析：原式整理可得0)1y (yx x )1y (2=+---。
当01y =-即1y =时，2x -=原式成立。
当01y ≠-即1y ≠时，0)]1y ()[1y (4y 2≥+---=∆，解得552y 552y -≤≥或。
综上可得原函数值域为),552[]552,(+∞⋃--∞。
评注：此方法适用于x 为二次的情形，但应注意01y =-时的情况。
方法六：图象法
例6. 求函数1x 1
y -=)0x (1≥-的值域。
解析：作出此函数的图象，如下图所示。
可知此函数值域为),1(]2,(+∞-⋃--∞。
评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。
方法七：中间变量法
例7. 求函数
5x 3x y 22-+=的值域。
解析：由上式易得1y 3y 5x 2-+=。
由1y 53y ,01y 3y 5,0x 2>-≤≥-+≥或解得知。
故此函数值域为),1(]53,(+∞⋃--∞。
评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。
方法八：配方法
例8. 求函数3x 2x y +-=的值域。
解析：因为22)1x (y 2≥+-=，故此函数值域为),2[+∞。
评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。