平方差公式的运用技巧
平方差公式(a+b)(a －b)=a 2－b 2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，
也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：
一．正用技巧:
1.直接运用平方差公式
例1 计算：(－3a+2b)( －2b －3a) .
分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而
达到熟悉掌握平方差公式的目的.
解： 原式= (－3a)2 －(2b)2=9a 2－4b 2.
2．连续运用平方差公式
例2 计算：(x+2)(x 2+4)(x －2) .
分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两
次运用平方差公式，就可以求到结果.
解： 原式=(x 2－4) (x 2+4)=x 4－16.
3．综合运用乘法公式
例3计算：(2a+b －c+6)(2a －b+c+6).
分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b －c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.
解：原式=[(2a+6) +(b －c)][(2a+6)－(b －c)]=(2a+6)2 －(b －c)2=4a 2+24a+36－b 2+2bc －c 2.
二．逆用技巧:灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事
半功倍的作用.
1．直接逆用平方差公式
例4 计算： (a+2)2－(a －2)2.
分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.
解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.
例5 计算：(1－221
)(1－231)(1－241)…(1－220081).
分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.
解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =200820092008200745
4334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008
200921⋅
=4016
2009. 2.2提公因式后逆用平方差公式
例6计算： 6.98×512－492×6.98.
分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.
解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；
2.3分组后逆用平方差公式
例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.
分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.
解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=20072
20071⋅+=2015028. 2.4指数变形后逆用平方差公式
例8证明38－46能被17整除.
分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mn n m a a =把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.
证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17.
∴38－46能被17整除.
2.5结合积的乘方性质逆用平方差公式
例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.
分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()m m m b a ab =对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.
解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2
=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.
2.6逆用平方差公式后约分
例10 计算：(16a 2－9b 2)÷(4a －3b).
分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.
解：原式=(4a+3b)×(4a －3b)÷(4a －3b)=4a+3b.
三．创造条件运用技巧:一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，
把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.
3.1拆数(项)后运用平方差公式
例11 计算：(1)2008×1992， (2)(a+3)(a －1).
分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.
解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.
(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a 2+2a+1－4= a 2+2a －3.
3.2添项后运用平方差公式
例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).
分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.
解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004.
（2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1) =(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；
3.3结合积的乘方性质运用平方差公式
例13 计算：(x －y)2(x+y)2(x 2+y 2)2.
分析：根据题目的特点，可以先逆用()m m m b a ab =对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.
解：原式=[(x －y)(x+y)(x 2+y 2)] 2=[(x 2－y 2)(x 2+y 2)] 2=(x 4－y 4)2=x 8－2x 4y 4+y 8.
3.4结合乘法分配律运用平方差公式
例14 计算：(1)(a －b)(a+b+2).
分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b 看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.
解：原式==(a －b)[(a+b)+2]=(a －b)(a+b)+2(a －b)=a 2－b 2+2a －2b.。