高三数学一轮复习——排列、组合（理）2013.1一、分步计数原理、分类计数原理：弄清是“分布”还是“分类”例1、(1)某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种．(2)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ）DA、26B、24C、20D、193 5 12B 4 6 A6 76 128解：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类办法：第一类：12 5 3第二类 ： 12 6 4第三类 ：12 6 7第四类；：12 8 6可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4；第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。
所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D(3)如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）CDAA、8种B、12种C、16种D、20种B C解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有=4种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有种方法；根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法二、排队问题：例2、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？(1)甲在排头(2)甲不在排头，也不在排尾(3)甲、乙不相邻(4)甲乙之间有且只有两人(5)甲乙丙三人必须在一起(6)甲乙丙三人两两不相邻(7)甲在乙的左边（不一定相邻）(8)甲乙丙三人按从高到矮，自左向右的顺序(9)甲不在排头，乙不在排尾(10)排3排，前排2人，中排2人，后排3人三、定序问题：常用方法：(1) 考虑位置“插空法”(2) 整体考虑用“除法”例3、(1)10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？(2) 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )CA． B． C． D．(3)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为____ __解：实质是7个节目的排列，因原定的5个节目顺序不改变，故排这5个节目是一个组合，有种方法，再排新插入的两个节目有种方法，故(4)一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？解：分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种四、排数问题：注意数字“0”例4、1、由0，1，2，3，4，5这六个数字。
(1)能组成多少个无重复数字的四位数？(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(3)能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？(4)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？解：（1）(2)(3)(4)2、由四个不同的数字1,2,4，x组成无重复数字的三位数.(1)若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？(2)若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x.解(1)5必在个位，所以能被5整除的三位数共有A23＝6个.(2)∵各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，∴这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成，∴共有2×A33＝12个.(3)显然x≠0，∵1,2,4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A31×A32次，∴这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)×A31×A32，即(1＋2＋4＋x)×A31×A32＝252，∴7＋x＝14，∴x＝7.3、用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 12 （用数字作答)4、3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6可做9用）解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5×4×2＝40个．这40个三位数中含数字6的有2×3×2＋1×4×2＝20个，故6可做9用时，可得三位数40＋20＝60个五、分组（平均分组）问题：先分堆再分配，注意平均分堆的算法例5、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？(1)平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)平均分成三份，每份2本；(3)甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；(4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(5)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；(6)分成三份，一份4本，另两份每份1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本（均只要求列式）解：（1）； （2） （3）（4） （5） （6）（7）六、不配对问题：例6、(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有 种？ 9(2)编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有__ __种解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有种(3)有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有 种？44七、相同元素问题：隔板法例7、(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。
于是，我们采用“隔板法”来解决。
在7个小球中的每两个之间分别有6个空，我们从6个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部分至少有1个球。
即有=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。
所以共有20种放球放法。
(2)把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？解：先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0，1，2本书，再用隔板法分配剩下的书有＝15种，(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？(4)某校准备参加2013年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有__ _种解 ：问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题将10个小球串成一串，截为7段有种截断法，对应放到8个盒子里:因此，不同的分配方案共有36种(5)有多少项？解：当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。
当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可当项种4个字母都在时 四者都相加即可．(6)方程中不同的整数解有 个八、几何问题：例8、(1)从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条30(2)在直角坐标xoy平面上，平行直线x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A、25个B、36个C、100个D、225个解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样的4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有个， 故选D。
(3)已知直线ax+by+c=0中的系数a，b，c是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。
设直线的倾斜角为，并且为锐角。
则tan=－＞0,不妨设a＞b,那么b＜0当c≠0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有3×3×4=36条当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有3×3-2=7条故符合条件的直线有7+36=43条(4)平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。
求：①这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。
②这些直线交成多少个三角形。
解法一：（1）由题设这10点所确定的直线是C102=45条。
这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点，由任意两条直线交一个点，共有C452个交点。
而在原来10点上有9条直线共点于此。
所以，在原来点上有10C92点被重复计数；所以这些直线交成新的点是：C452－10C92=630。
（2）这些直线所交成的三角形个数可如下求：因为每个三角形对应着三个顶点，这三个点来自上述630个点或原来的10个点。
所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合，即C6403=43486080（个）。
解法二：（1）如图对给定的10点中任取4个点，四点连成6条直线，这6条直线交3个新的点。
故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍，即这些直线新交成的点的个数是：3C104=630。
（2）同解法一。
(5)从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（）A．56 B．52 C．48 D．40 C(6)四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150种B、147种C、144种D、141种解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。