排列、组合、二项式定理（教案）A一、知识点梳理1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系 ==n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列： =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m==；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②；③rC n r=n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算。

当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：mn A )!(!m n n -nn A )!(!!m n m n -12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n rn r n r n C C C 11+-=+①(1+x)n ≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+x 2；（5）证明不等式。

二、题型探究[探究一]：计数原理例1．完成下列选择题与填空题 （1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。

A ．81 B ．64 C ．24 D ．4 （2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ）A ．81B ．64C ．24D ．4 （3）有四位学生参加三项不同的竞赛，①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有 ； ②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有 ；③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有 。

例2．（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。

[探究二]：排列问题例3．（1）（06北京卷）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个 （2）（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）2)1( n n 1,2,3,4,5（A）108种（B）186种（C）216种（D）270种（3）（06湖南卷）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）A．6 B. 12 C. 18 D. 24（4）(06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040例4．（1）（06天津卷）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）；（2）（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.[探究三]：组合问题例5．（1）(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（）（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种（2）（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种例6．（1）(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；（2）（06全国II ）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）（A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种[探究四]：排列、组合的综合问题例7．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。

求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。

（2）这些直线交成多少个三角形。

例8．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c 是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

[探究五]：二项式定理例9．（1）（湖北卷）在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 （2）的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）624(x x 10)31(xx -例10．（1）（06江西卷）在（x）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于（）A.23008B.－23008C.23009D.－23009（2）（06山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中=－1，则展开式中常数项是（）(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45（3）（06浙江卷）若多项式（）(A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10[探究六]：二项式定理的应用例11．证明下列不等式：（1）≥（）n,（a、b∈{x|x是正实数},n∈N）;（2）已知a、b为正数，且+=1，则对于n∈N有（a+b）n-a n-b n≥22n-2n+1。

2nx⎛⎝1432i=+++++++=+91010291102,)1()1()1(axaxaxaaxx则2nn ba+2ba+a1b1例12．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余数；（2）7n+C n17n-1+C n2·7n-2+…+C n n-1×7除以9，得余数是多少？（3）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值。

①精确到0.01；②精确到0.001。

三、方法提升1.用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论；2.用二项式定理来求近似值，可以根据不同精确度来确定应该取到展开式的第几项。

3.解排列组合应用题的基本规律1．分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。

2．将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。

3．对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。

4．对解组合问题，应注意以下三点：（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；（2）是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在。

四、反思感悟五、课时作业一、选择题1、（2010全国卷2理数）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种2、2010全国卷2文数）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种(B) 18种(C) 36种(D) 54种3、（2010江西理数）6. 展开式中不含．．项的系数的和为（ ）A.-1B.0C.1D.24、（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种 5、（2010重庆文数）（1）的展开式中的系数为（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）20 6、（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 7、（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ） （B ） （C ） （D ）8、（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）1449、（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 （A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种(824x 4(1)x +2x 8289A A 8289A C 8287A A 8287A C10、（2010天津理数）（4）阅读右边的程序框图，若输出s 的值为-7，则判断框内可填写(A)i ＜3? （B ）i ＜4?（C ）i ＜5? （D ）i ＜6? 11、（2010福建文数）12、（2010全国卷1文数）(5)的展开式 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 13、（2010全国卷1理数）(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种14、（2010全国卷1理数）(5)的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 415、（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A ）36 （B ）32 （C ）28 （D ）2416、（2010湖北文数）6．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 A ．B.C.D.43(1)(1x -2x 35(1(1+45565654322⨯⨯⨯⨯⨯6543⨯⨯⨯⨯217、（2010湖南理数）7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15 18、（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。