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洛阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试卷及详细解析

洛阳市2019—2020学年第一学期期中考试高一数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I 卷1至2页,第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅱ卷 (选择题,共60分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束,将答题卡交回.―、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若U= {2,3,4,5},M= {3,4},N= {2,3},则))()(N C M C U U 是 ( ) A.{2,3.4} B.{3} C. {3,4,5} D.{5}2.函数)1lg(3)(++-=x x x f 的定义域为( ) A. {31|≤≤-x x }B. {13|-≠≤x x x 且}C. {3<<1|x x -}D. {3<1|≤-x x }3.设⎩⎨⎧≥+=2x 3x,2<,1)(2x x x f ,则))1((-f f 的值为( )A. 5B. 6C. 9D.104.定义运算:⎩⎨⎧≤=⊕ba b ba ab a >,,,则函数21)(⊕=x f 的值域是( )A. (0,1]B.(0,1) C.(l ,+ ∞) D.[l ,+∞)5.已知0>a 且1≠a ,下列四组函数中表示相等函数的是( ) A. 2x y =与2)(x y = B. 1=y 与x a a y log = C. 42-=x y 与22-⋅+=x x y D. 2log x y a =与x y a log =6.函数3)23()(-=xx f 的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.函数2|2|4)(2---=x x x f 的奇偶性为( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 8.已知1.11.022.0,2,1.0log ===c b a ,则 a ,b ,c 的大小关系是A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c << 9.函数|1|ln )(-=x x f 的图象大致是( )10.定义在R 上的奇函数)(x f 在R 上),0(+∞递增,0)31(=f ,则满足>0)(log 8x f 的x 的取值范围是( )A. ),2(+∞B. ),0()1,21(+∞C. ),2()21,0(+∞D. )2,21( 11.若函数e e x f m x ()(2)(--=是自然对数的底数)的最大值为n ,则=)(m n f ( )A.e 1 B. 21eC. eD.1 12.已知定义在),0(+∞上的单调函数)(x f ,满足2))((2=-x x f f ,则不等式11->7x )(x f 的解集为( )A.φB.{2137>7137<<0|+-x x x 或} C.{4>3<<0|x x x 或} D.{2137<<3|+x x }第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分. 13.已知幂函数)(x f y =的图象过点(2,41),则=)3(f . 14.某商品进货单价为30元,按40元一个销售,能卖40个;若销軎单价每涨1元,销售量减少一个,要获得最大利润时,此商品的售价应该为每个 元. 15.函数)1ln()4ln()(x x x f -++=的单调增区间是 .16.已知集合 M= {0124|1=--⋅+x x m x },N={11|≤≤-x x },若φ=N M , 则实数m 的取值范围为.三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知集合 A = {2733|≤≤xx } ,B ={1>log |2x x }.(1)求B A B A ,;(2)已知集合C= {a x x <<1|},若A A C = ,求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分) 计算下列各式:(1)3041421833)35(])3[()412(+---+;(2)4log 5log 201.0lg 25.6log 543log 15.22⋅+-++.若函数⎩⎨⎧≤---=0,2220>,2)(x x x x x f x ,(1)在给定的平面直角坐标系中画出函数)(x f 的图象; (2)利用图象写出函数)(x f 的值域、单调区间.20.(本小题满分12分) 已知函数1)(2++=x b ax x f 是定义在R 上的奇函数,且21)1(=f . (1) 求函数)(x f 的解析式;(2) 判断并证明)(x f 在(1,+ ∞)上的单调性.已知函数x x x f 2log2log )(22⋅=的定义域为[41,2]. (1)若x t 2log =,求t 的取值范围; (2)求)(x f y =的值域.22:(本小题满分12分)已知函数1212)(+-=x x f x .(1)判断并证明)(x f 的奇偶性;(2)当),1[+∞∈x 时,22)(-≤xx mf 恒成立,求实数m 的取值范围.洛阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试题1.【答案】D【解析】根据集合补集的定义,结合交集进行运算即可. 解:∵U ={2,3,4,5},M ={3,4},N ={2,3}, ∴(∁U M )={2,5},(∁U N )={4,5}, 则(∁U M )∩(∁U N ))={5}, 2.【答案】D【解析】由题意可得,3010x x -≥⎧⎨+>⎩,解不等式即可求解函数的定义域.解:由题意可得,3010x x -≥⎧⎨+>⎩,解可得,13x -<≤, 故函数的定义域为(]1,3-. 3.【答案】B【解析】推导出()()21112f -=-+=,从而()()()12f f f -=,由此能求出结果.∵()21,23,2x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩,∴()()21112f -=-+=,()()()12326f f f -==⨯=. 4.【答案】A【解析】根据新运算法则求解()f x 的解析式和x 的范围,由分段函数的性质求解值域.解:()12xf x =⊕=2,01,0x x x ⎧≤⎨>⎩.∵当0x ≤时,()(]20,1x f x =∈; 当0x >时,()1f x =, ∴()f x 的值域为(]0,1.【解析】判断函数的定义域与对应法则是否相同,即可判断两个函数是否相同函数.解:A 中y =R ,而2y =定义域为[)0,+∞,定义域不同,不是同一函数;B 中x a y log a x ==,1y =与x a y log a =对应法则与定义域相同,故是同一函数;C 中y =定义域[)(]2,2+∞-∞-,,y =定义域为[)2,+∞,定义域不同,不是同一函数;D 中2log a y x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞,a y log x =定义域为()0,∞+,定义域不同,不是同一函数; 故选:B . 6.【答案】C【解析】()332xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域内属于单调递增函数,根据二分法只需判断区间端点的正负号即可求解;解:∵()332xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域内属于单调递增函数,且()02f =-,()312f =-,()324f =-,()338f =,()33416f =,可得()f x 的零点所在区间为()2,3. 7.【答案】A【解析】先求出定义域为[﹣2,0)∪(0,2],再根据定义域化简解析式,观察可知为奇函数.f (x )22x =--的定义域为[﹣2,0)∪(0,2],所以f (x )22x x ==---=-f(-x) ∴f (x )为奇函数.【解析】分别根据指对函数的性质和运算性质得到各自的范围,进而得到结果. 显然,0a <,又因为0.10221b =>=, 1.100.20.21c =<=,故a c b << 9.【答案】B【解析】根据特殊值,代入检验,排除不合要求的选项即可 当x=0时,f(x)=0,排除D 选项 当x →+∞ 时,()f x →+∞ 排除C 选项 根据定义域{}|1x x ≠ 可排除A 选项 10.【答案】C【解析】由已知结合奇函数的对称性可得,81log 3x >或81log 03x -<<,解对数不等式即可求解.解:定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+递增,103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴()f x 在(),0-∞上递增,且103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又∵()8log 0f x >,∴81log 3x >或81log 03x -<<,解可得,2x >或112x <<,故x 的取值范围为()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.11.【答案】A【解析】解:∵函数()2()x m f x e --=(e 是自然对数的底数)的最大值为n , ∴当x m =时,函数()2()x m f x e --=的最大值为1n =,∵()f x 是偶函数,∴()()11f f =-,∴()()221111m m e e ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴()()2211m m -=+,221212m m m m +-=++,解得0m =,∴()()111m f n f e e-===.12.【答案】C【解析】解:∵()f x 是定义在()0+∞,上的单调函数, ∴由()()22f f x x -=得,()2f x x c =+, ∴()22f c c c =+=,且0c >,解得1c =, ∴()21f x x =+, ∴由()711f x x >-得,21711x x +>-,且0x >,解得03x <<或4x >,∴原不等式的解集为{}034x x x <<>或.13.【答案】19【解析】设幂函数y=x α(α∈R ),其函数图象经过点(2,14), ∴2α=14;解得α=﹣2,∴y=f (x )=x ﹣2;∴f (3)=19, 14.【答案】625【解析】设涨价 x 元,利润 y =(40+x )(40-x )-30(40-x )=-x 2+30x +400, 15?,2bx a=-=当时y 最大=625(元). 15.【答案】342⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 【解析】解:函数()()()ln 4ln 1f x x x =++-, 定义域{}41x x -<<,()()()()()ln 4ln 1ln 41f x x x x x =++-=+-,令()()41t x x =+-,当342x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,时单调递增,当312x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,时单调递减, 则ln y t =为增函数,由复合函数的单调性“同增异减”得:函数()f x 单调递增区间为342⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,单调递减区间为312⎛⎫- ⎪⎝⎭,, 16.【答案】()5,8,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】解:设20x t =>则{}2210M t mt t =--=,122N t t ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭因为M N ⋂=∅,所以题目转化为方程2210mt t --=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解,即222112t m t t t+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦无解, 令11,22n t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦, 即函数y m =和22y n n =+在1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上没有交点, 而函数22y n n =+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以5,84y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以可得54m <或8m >. 故答案为:()5,8,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭17.【答案】(1)A ∩B ={x |2<x ≤3},A ∪B ={x |x ≥1}(2)a ≤3【解析】解:(1)A ={x |3≤3x ≤27}={x |1≤x ≤3},B ={x |log 2x >1}={x |x >2}.则A ∩B ={x |2<x ≤3},A ∪B ={x |x ≥1}.(2)若C ∪A =A ,则C ⊆A ,当C =∅时,则a ≤1,满足条件.则C ≠∅,则a >1,则要满足C ⊆A ,则1<a ≤3,综上a ≤3,即实数a 的取值范围是a ≤3.18.【答案】(1)5(2)-5【解析】解:(1)()()1102443132353348⎡⎛⎫ ⎪⎤+---+⎭⎣⎝⎦ 11123449273148⨯⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,333122=+-+ 5=;(2)21log 32.545log 6.25lg 0.012log 5log 4++-+⋅,2log 34412222log 5log 5=--⋅+⋅ 2315=-⨯+=-.19.【答案】(Ⅰ)(II )值域为(﹣∞,﹣1]∪(1,+∞),单调递减区间为[﹣1,0], 单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(0,+∞).【解析】(Ⅰ)函数图象如图所示;(II )由图象可得函数的值域为(﹣∞,﹣1]∪(1,+∞),单调递减区间为[﹣1,0],单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(0,+∞).20.【答案】(1)()21x f x x =+;(2)()f x 在()1,+∞上单调递减,证明见解析.【解析】解:(1)∵()f x 是R 上的奇函数,∴()00f =,且()112f =, ∴0122b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得10a b =⎧⎨=⎩, ∴()21x f x x =+; (2)()f x 在()1,+∞上单调递减,证明如下:设121x x >>,则()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()()()21122212111x x x x x x --=++, ∵121x x >>,∴210x x -<,1210x x ->,且22121010x x ++>,>,∴()()()()21122121011x x x x x x --++<, ∴()()12f x f x <,∴()f x 在()1,+∞上单调递减.21.【答案】(1)[]2,1-(2)值域为1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解:(1)∵124x ≤≤, ∴2]log 21[t x =∈-,, (2)∵()2log 2f x x = ()2211log 22log 2x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, ∴()()()22132f t t t t t =++=++ =231()24t +- 在32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减,在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 当32t =-即4x =时,函数取得最小值14-, 当1t =即2x =时,函数取得最大值6 故函数的值域为1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 22.【答案】(1)()f x 为定义域为R 的奇函数,证明见解析(2)(],0-∞【解析】解:(1)()f x 为定义域为R 的奇函数,证明如下: ()f x 定义域为R ,∵()2121x x f x -=+,∴()f x -=2121x x ---+=1212x x -+()f x =-, ∴()f x 为定义域为R 的奇函数,(2)由[)1x ∈+∞,时,()22xmf x ≤-恒成立,可得212221x x x m -⋅≤-+, ∵1x ≥,∴21021x x ->+, ∴()()222121x x x m ≤-+-在1x ≥恒成立,令21x t =-,则1t ≥,∴()()12t t m t -+≤21t t=-+,在1t ≥恒成立 设()21g t t t=-+,则()min g m t ≤ 而()g t 在[)1+∞,上单调递增, ∴()()min 10g t g ==,∴0m ≤,故m 的范围为:(],0-∞.。

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