图1乙甲7518736247954368534321福建福州八中2009年元月高三调研考试试卷数学文科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡上．1．复数i 1i,321-=+=z z ，则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在等比数列｛an ｝中，已知,11=a 84=a ，则=5aA ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－323．已知向量a =（x ，1），b =（3，6），a ⊥b ，则实数x 的值为( )A ．12B ．2-C ．2D ．21-4．经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为( ) A ．30x y -+= B ．30x y --= C ．10x y +-=D ．30x y ++=5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2xf x =，则(2)f -=( )A ．14 B ．4-C ．41-D ．46．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A ．62 B ．63 C ．64 D ．65 7．下列函数中最小正周期不为π的是 A ．x x x f cos sin )(⋅=B ．g （x ）=tan （2π+x ）C ．x x x f 22cos sin )(-=D ．x x x cos sin )(+=ϕ8．命题“,11a b a b >->-若则”的否命题是 A ．,11a b a b >-≤-若则 B ．若b a ≥，则11-<-b a C ．,11a b a b ≤-≤-若则D ．,11a b a b <-<-若则图2俯视图侧视图正视图49．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视 图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为A ．6B ．24C ．123D ．3210．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 A ．()()+∞-∞-,11,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C ．()()+∞-∞-,,2222D ．()()+∞-∞-,,2211．已知△ABC 满足||3+||3=||=1，△ABC 则必定为 A ．直角三解形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦 最长时的直线方程是 A ．0=x ． B ．1=y ． C ．01=-+y x ．D ．01=+-y x ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题: 本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ． 14．如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ．15．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______． 16．已知c x x x x f +--=221)(23，若]2,1[-∈x 时，2)(c x f <恒成立，则实数c 的取值范围______三．解答题: 本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知()sin f x x x =∈x (R )． （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．18．(本小题满分12分)某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后, 随机地 在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形 图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分) 的频率为0．05,此分数段的人数为5人． 0(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率． 图519．(本小题满分12分) 如图6，已知四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， ABCD 是直角梯形，BC AD //，BAD ∠90º，AD BC 2=． （1）求证：AB ⊥PD ；（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使AE //平面PCD ， 若存在，指出点E 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．频率分数901001101201300.050.100.150.200.250.300.350.40807020．（本题满分12分）已知函数)4,1()(23M bx ax x f 的图象经过点+=，曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直。

（1）求实数b a ,的值；（2）若函数m m m x f 求上单调递增在区间,]1,[)(+的取值范围。

21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244n S n n =-+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n n a b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：141<≤n T ．22．(本小题满分14分)设椭圆:C )0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为e =22,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4． (1)求椭圆C 的方程； （2）椭圆C 上一动点P()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围．参考答案5分，满分60分．4分，满分16分．13．()11,- 14．52 15．7 16．1-<c 或2>c 三．解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．17．(本小题满分12分) 解：（1）∵()x x x f cos 3sin +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 23sin 212 …… 2分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin cos 3cos sin 2ππx x …… 4分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx ． …… 6分 ∴2T π=． …… 8分(2) 当13sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 时, )(x f 取得最大值, 其值为2 ． ……10分此时232x k πππ+=+，即26x k ππ=+∈k (Z )． ……12分FEADBCP18．(本小题满分12分)解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为51000.05=人． ……4分∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d , 由4226d ⨯+=100,解得2=d ．∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人． ……8分(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0．35+0．25+0．1+0．05=0．75．……12分19．(本小题满分14分)解：（1）∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ． …… 2分 ∵ AB ⊥AD ，PA AD A =，∴ AB ⊥平面PAD ， …… 4分∵ PD ⊂平面PAD ，∴ AB ⊥PD ． …… 6分 （2）法1: 取线段PB 的中点E ，PC 的中点F ，连结DF EF AE ,,, 则EF 是△PBC 中位线．∴EF ∥BC ，BC EF 21=， ……8分∵ BC AD //，BCAD 21=，∴EF AD EF AD =,//．∴ 四边形EFDA 是平行四边形， ……10分 ∴ DF AE //． ∵ AE⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，∴ AE ∥平面PCD ． ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点． ……12分 法2: 取线段PB 的中点E ，BC 的中点F ，连结AF EF AE ,,,F EADBC P则EF 是△PBC 的中位线．∴EF ∥PC ，BC CF 21=，∵⊄EF 平面PCD , ⊂PC 平面PCD ,∴//EF 平面PCD ． …… 8分∵ BC AD //，BC AD 21=，∴CF AD CF AD =,//．∴ 四边形DAFC 是平行四边形， ∴ CD AF //∵ AF⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴ AF ∥平面PDC ． ……10分 ∵F EF AF = ,∴平面//AEF 平面PCD ．∵⊂AE 平面AEF , ∴AE ∥平面PCD ． ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点． ……12分 20．(本小题满分12分)解：解：（1）),4,1()(23M bx ax x f 的图象经过点+= 4=+∴b a ①式 …………1分b a f bx ax x f 23)1(,23)(2+='+='则 …………3分由条件923,1)91()1(=+-=-⋅'b a f 即 ②式…………5分由①②式解得3,1==b a（2）x x x f x x x f 63)(,3)(223+='+=， 令,20063)(2-≤≥≥+='x x x x x f 或得 …………8分经检验知函数(][)+∞⋃-∞-⊆++,02,]1,[,]1,[)(m m m m x f 则上单调递增在区间， m m m m m 为所求或即或30,210-≤≥-≤+≥∴的取值范围。

…………12分21．(本小题满分12分) (1) 解：当1n =时，111a S ==． ……1分当2n ≥时，1--=n n n S S a ()()[]41414422+----+-=n n n n 52-=n ． ……3分∵11=a 不适合上式,∴⎩⎨⎧≥-==.2,52,1,1n n n a n ……4分 （2）证明: ∵1,12252,22n n n nn a b n n ⎧=⎪⎪==⎨-⎪≥⎪⎩．当1=n 时，11,2T =……6分 当2n ≥时，23111252222n n n T --=++++ , ①234111112725222222n nn n n T +---=+++++ ． ②①－②得:23111211252()222222n n n n T +-=-+++-211125(1)222n n n -+-=--得211(2)2n nn T n -=-≥， ……8分此式当1=n 时也适合．∴∈--=n n T n n (2121N )*． ∵*210()2n n n ->∈Ν，∴1nT <． ……10分 当2n ≥时，111212123(1)(1)0222n n n n n n n n T T ++++---=---=>，∴1(2)n n T T n +<≥． ∵12131,1244T T ==-=，∴21T T <． 故2n T T ≥，即*1()4n T n ≥∈N ．综上，*11()4n T n ≤<∈N ． ……12分22．(本小题满分14分)解:(1)依题意知,24, 2.a a =∴= …… 2分∵22==a c e ,2,222=-==c abc ． …… 4分∴所求椭圆C 的方程为12422=+y x ． …… 6分（2）∵ 点P()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=+-=⨯--.222,1210101010x x y y x x y y …… 8分解得：001435y x x -=，01345y x y +=． …… 10分∴011543x y x -=-． …… 12分∵ 点P ()00,y x 在椭圆C :12422=+y x 上,∴220≤≤-x , 则105100≤-≤-x ． ∴1143y x -的取值范围为[]10,10-． ……14分。