1 1 − )sign σ E′ E
E’
卸载:
σ dσ < 0, dε = dσ / E
E O
ε εs
| σ |≤ σ s ,
ε =σ / E
11
5.2 应力应变简化模型
2. 线性强化弹塑性模型
用应变表示的加载准则： 用应变表示的加载准则：
σ σs
加载: σ dε > 0, σ = [σ s + E′(| ε | −ε s )]sign ε
(5.12)
σ σs
A C
ω(ε)=AC/AB 弹性曲线与实际 曲线的相对差值
O B
ε
ε
p
ε
5.2 应力应变简化模型
对线性强化弹性材料在加载时:
ω
1
| ε |> ε s
[σ s + E′(ε − ε s )]sign ε = Eε [1− ω(ε )]
O
ε εs
ε s ε +
1−
[σ s + E′(ε − ε s )]sign ε = ω(ε ) Eε
伸长率:
δk =
∆lk ×100% l0
截面收缩率:
ϕk =
F0 − Fk × 100% F0
标志材料的塑性 特性，其值越大 则材料破坏后的 残余变形越大。
δk ≥5%：塑性材料； 塑性材料；低碳钢δk=20% ~30% δk <5%：脆性材料。 脆性材料。
5.1 基本实验资料
塑性变形有以下特点： 塑性变形有以下特点：
8
5.1 基本实验资料
二、静水压力( 静水压力(各向均匀受压) 各向均匀受压)试验
(1)、体积变化 体积应变与压力的关系 (Bridgman实验公式)
εm =
∆V 1 1 = p (1 − p) V0 K K1
体积压缩模量 派生模量
或
∆V = ap − bp 2 V0
铜：当p＝1000MPa时，ap＝
工程弹塑性力学
黄铭枫 mfhuang@
浙江大学
建筑工程学院
第五章 简单应力状态的弹塑性问题
5.1 基本实验资料 5.2 应力－ 应力－应变的简化模型 5.3 应变的表示法 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架 5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响
ω(ε ) = 1 −
ε E' (1 − s ) sign ε E ε
| ε |> ε s时，ω (ε ) = (1 −
E′ ε )(1 − s sign ε ) E ε
(5.13)
13
5.2 应力应变简化模型
4.幂次强化模型
σ = A | ε |n sign ε , (常数A > 0, 0 < n < 1)
位错塞积和晶界强化
位错运动受到晶界的阻碍将在晶界处造成塞积。 位错运动受到晶界的阻碍将在晶界处造成塞积。位错的应力 场叠加， 场叠加，造成应力集中。 造成应力集中。位错运动受阻， 位错运动受阻，塑性变形需要更大的外 力才能进行， 力才能进行，结果使多晶体材料的屈服强度增高。 结果使多晶体材料的屈服强度增高。
1
韧性（ 韧性（塑性） 塑性）金属材料单向拉伸试验曲线
F
强度极限 屈服上限
强化段 软化段 卸载 弹性变形
l
l0
A
屈服下限 弹性极限
F
残余变形
本构模型
金属材料
其他工程材料，混凝土，土，岩石
拉伸曲线
从拉伸曲线看， 从拉伸曲线看，当应力超过一定值， 当应力超过一定值，应力与应变不再成直线关 系。此时， 此时，已开始塑性变形。 已开始塑性变形。
7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。说明 第二项远小于第一项，可以略去不 计。因此根据上述试验结果，在塑 性理论中常认为体积变形是弹性的。
铜 a b 7.31x10-7 2.7x10-12
铝 13.34x10-7 3.5x10-12
铅 23.73x10-7 17.25x10-12
因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力 的影响。但对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服 应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能忽略。
E O
符号函数: +1, σ > 0 sign ε = 0, σ = 0 −1, σ < 0
εs
| ε |≤ ε s
ε
σ = Eε
5.2 应力应变简化模型
2. 线性强化弹塑性模型
（材料有显著强化率） 材料有显著强化率）
σ σs
加载: σ dσ > 0, ε =
σ
E
+ (| σ | −σ s )(
9
5.2 应力应变简化模型
选取模型的标准： 选取模型的标准： 1、必须符合材料的实际性质 2、数学上必须是足够地简单
• 一般应力-应变曲线： 应变曲线：
σ =Eε ， ε < εs (屈服前： 屈服前：线弹性) σ =ϕ(ε) ，ε > εs (屈服后)
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型 （软钢或强化率较低的材料） 软钢或强化率较低的材料）
10
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型
σ σs
用应变表示的加载准则： 用应变表示的加载准则： 加载:
在ε＝εs处解析式有变化， 给具体计算带来困难;
σ d ε > 0,
σ = σ s sign ε
卸载:
σ d ε < 0,
dσ = Ed ε
理想弹塑性模型不考虑材 料的强化，认为材料屈服 后无止境的塑性流动，抓 住了韧性材料的主要特征， 因而与实际情况符合得较 好。
σ / σ1
强化系数 强化指数
ε σ 3 σ m = + ( ) ε1 σ 1 7 σ 1
(5.14)
σ = Aε
A= E:
理想弹性模型 虎克定律
σ=A
理想刚塑性模型
在ε＝0处与σ轴相切
只有两个参数A和n，因而也不可能 准确地表示材料的所有特征。但由 于解析式比较简单，而且n可以在较 大范围内变化，所以也经常被采用。
5.2 应力应变简化模型
5. Ramberg-Osgood模型 (三参数模型)
2
塑性变形是永久性 形是永久性变形，外力撤去后变形也不能恢复。 塑性变形常用单向拉伸时的延伸率δ和断面收缩ψ率表示： 延伸率
δ=
ψ=
l − l0 × 100% l0
A0 − A × 100% A0
断面收缩
塑性变形的方式：
宏观上：伸长，缩短，弯曲，扭转，等。 微观上： 单晶体只有滑移 晶体只有滑移和 滑移和孪生二种。滑移和孪生都是剪应变，即在剪应力 作用下晶体的一部分相对于另一部分发生了平移。
材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从
不同的规律：
加载
简单拉伸试验 的塑性阶段：
σ dσ ≥ 0 σ dσ < 0
dσ = Et d ε
卸载
dσ = Ed ε
5
5.1 基本实验资料
金属材料的应变强化
经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中， 弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与 塑性变形的历史有关，决定于前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的
E’
卸载:
σ dε < 0, dσ = Edε
不考虑塑性流动，强化按线 性关系进行。
E O
ε εs
| ε |≤ ε s ,
σ = Eε
5.2 应力应变简化模型
*
刚塑性模型（忽略弹性变形） 忽略弹性变形） (a) 理想刚塑性模型
在许多实际工程问题中，弹 弹 性应变<< 性应变 <<塑性应变，因而可 塑性应变 εe<<塑性应变 εp 以忽略弹性应变。
金属塑性变形微观机制
3
单晶体的塑性变形
一、滑移 1、滑移现象
单晶锌变形后产生的滑移带（采自 C.F.Elam著 The Dislocation of Metal Crystals，Oxfold University pre体难以滑移时而发生的另一种塑性 生的另一种塑性变形方式。密 形方式。密 排六方结构(HCP)的金属，如Zn，Mg等常常以孪生方式进行塑性 变形。
应变强化(或加工硬化)。
塑性变形过程中金属材料微观晶体组织的变化 导致出现应变强化： 导致出现应变强化： 1) 位错密度剧增； 位错密度剧增； 2) 晶粒破碎， 晶粒破碎，晶界增多， 晶界增多，造成晶界强化； 造成晶界强化； 3) 吸收、 吸收、存储部分变形能， 存储部分变形能，有残余应力存在。 有残余应力存在。
(1)、由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功具有不可逆 性，或称为耗散性。在一个加载卸载的循环中外力作功恒大于零， 这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。 (2)、由于应力—应变关系的非线性，应力与应变间不存在单值对 应关系，同一个应力可对应不同的应变，反过来也是如此。这种 非单值性是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。 (3)、当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的 弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两 区域的分界面也会产生变化。
ε
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
（3）反向加载 卸载后反向加载， 卸载后反向加载，σs’’< σs’——Bauschinger效应
σ
A
B
拉伸塑性变形后使 压缩屈服极限降低 的现象。即正向强 化时反向弱化。
σs
O
O’
ε
σs’
B’ B’’