第二章 习题
一、填空
1、称统计量θθ
为ˆ的无偏估计量，如果)ˆ(θE = 。
2、n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，在对总体方差)(X D 进行无偏估计时，常用的统计量是 。
3、1021,,,X X X 是来自总体X 的样本，在EX 的三个无偏估计量∑==3
1131ˆi i X μ
，∑==51251ˆi i X μ
，∑==10
1
3101ˆi i X μ中，最有效的是 。
4、某批产品的次品率为未知参数)10(<<p p ，从整批产品中随机抽取n 件样品，为用极大似然法估计p ，似然函数为 ，p 的极大似然估计为 。
5、随机变量X 服从],0[θ上的均匀分布，θ为未知，若用最大似然法估计θ，其似然函数为 ；θ的极大似然估计为 。
6、设正态总体X 的方差为1，根据来自总体X 的容量为100的简单随机样本测得样本均值
5=x ，则总体均值95.0的置信度μ的置信区间为 。
7、设由来自正态总体),(2
δμN 的容量为9的简单随机样本均值5=x ，样本标准差
9.0=s ，则95.0的置信度μ的置信区间为 ；2δ95.0的置信度的置信区间为
8、设321,,X X X 为来自总体的一个样本，基3212
1
51ˆX aX X ++=μ
为总体均值的无偏估计，则a = 。
9、设总体X ∽),(2δμN ，2δ=2
0δ已知，要使总体均值在置信度1—α下的置信区间长度不大于l ，则至少应抽取容量为 的样本。
二、单项选择
1、n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，总体方差的无偏估计量是（ ）
A 、∑=-n i i X X n 12
)(1 B 、∑-=--112)(11n i i X X n C 、∑-=-112
)(1n i i X X n D 、∑=--n i i X X n 1
2)(11
2、对总体X ∽),(2δμN 的均值μ作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，其意是指这个区间（ ）
A 、平均含总体95%的值
B 、有95%的机会含μ的值
C 、平均含样本95%的值
D 、有95%的机会含样本的值
3、设2
1ˆ,ˆθθ是总体未知参数θ的两个估计量，则下列说法中正确的是（ ） A 、若21ˆˆθθD D >，则称21ˆˆθθ比有效 B 、若21ˆˆθθD D <，则称21ˆˆθθ比有效 C 、若21ˆ,ˆθθ均为θ的无偏估计 ，且21ˆˆθθD D >，则称21ˆˆθθ比有效 D 、若21ˆ,ˆθθ均为θ的无偏估计 ，且21ˆˆθθD D <，则称2
1ˆˆθθ比有效 4、设总体X ∽),(2δμN ，2
δ已知，样本容量n 和显著性水平α固定，对不同的样本观察值，的置信区间的长度（ ）
A 、变长
B 、变短
C 、保持不变
D 、不能确定 5、高正态总体期望μ的置信区间的长度)1(2-=n t n
s
l α，则其置信度为（ ） A 、α21- B 、α C 、2
1α
-
D 、α-1 6、统计量的评价标准中不包括（ ）
A 、一致性
B 、有效性
C 、极大似然性
D 、无偏性 三、计算
1、设总体X 的概率密度函数⎩
⎨
⎧<<+=其它
010)1(),(x x x f θ
θθ，)1(->θ。
n
X X X ,,,21 为一个样本，求参数θ的极大似然估计。
2、设21ˆ,ˆθθ均为未知参数θ的无偏估计 ，21ˆ2ˆθθD D =，且21ˆ,ˆθθ相互独立，试确定常数21,c c ，使得2211ˆˆθθc c +仍为
θ的无偏估计，开且在所有这种形式的无偏估计中最为有效。
3、在某在区小学五年级的男生中随机抽选了25名，测得其平均身高为150cm ，标准差为12cm 。
假设该在区小学五年级男生的身高服从正态分布),(2
δμN ， （1）若2
δ=100，求五年级男生平均身高的置信度为95.0的置信区间 （2）若2δ未知，求五年级男生平均身高的置信度为95.0的置信区间 （3）求2δ
4、假设2,8.0,25.1,5.0是来自总体X 的简单随机样本，已知X y ln =服从正态分布)1,(μN 。
（1）求X 的数学期望EX （记b EX =）；（2）求μ的置信度为95%的置信区间；（3）利用上述结果求b 95.0的置信度的置信区间。
四、证明
1、设总体X 服从区间]2,[θθ上的均匀分布，其中0>θ是未知参数。
又n X X X ,,,21 是
来自X 的样本，X 为样本均值。
证明：X 3
2
ˆ=θ
是参数θ的无偏估计。
2、设θˆ是参数θ的无偏估计，0)ˆ(>θ
D ，证明：2
ˆθ不是2
θ的无偏估计。
3、设n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，n c c c ,,21为常数，且
∑=n
i i
c
1
，（1）证明
i
n
i i X
c ∑=1
为EX 的无偏估计；（2）证明：当N c c c n 1
21==== ，即X X c i n
i i =∑=1
时，其方差最
小。
4、设总体X ∽),(2
δμN ，其中μ为已知，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，
∑=--=n i i X X n s 12
2
)(11，∑=-=n i i X n s 1
220)(1μ，证明：（1）2s 和20s 都是2δ的无偏估计；（2）证明：20s 比2
s 有效。