概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题:1.某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为( )(A )321A A A ++ (B )323121A A A A A A ++ (C )321321321A A A A A A A A A ++ (D )321A A A2.掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为( ) (A )365 (B )364 (C )363 (D )3623.设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则( )(A ))(1)(B P A P -= (B ))()()(B P A P AB P = (C )1)(=+B A P (D )1)(=AB P4.随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-00)(2x x ce x f x ,则=EX ( )(A )21(B )1 (C )2 (D )41 5.下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是( )(A )+∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 (B )⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0001)(2x x x x x F(C )+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 (D )+∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为( )(A ))2(2y f X - (B ))2(y f X - (C ))2(21y f X -- (D ))2(21y f X -7.已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hgp fe d x c b a x p y y y X Y Y jXi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h ( ) (A )81(B )83 (C )41 (D )31 8.设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY E ( )(A )3 (B )6 (C )10 (D )129.设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是( )(A )X 与Y 相互独立 (B )X 与Y 不相关 (C )0),cov(=Y X (D )DY DX Y X D +=+)(答案:1. B2. A3.D4.A5.B6. D7. D8. C9. A1.某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为( C ) (A )321A A A ++ (B )323121A A A A A A ++(C )321321321A A A A A A A A A ++ (D )321A A A2.将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为( A )(A )2242 (B )2412C C (C )24!2A (D )!4!23.设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则( D ) (A ))()|(A P B A P = (B ))()()(B P A P AB P = (C ))()()|(B P A P B A P = (D )0)|(=B A P4.随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX ( A )(A )32(B )1 (C )38 (D )316 5.随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-00)1()(x x e x A x F x,则=A ( B )(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 6.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为( D )(A ))3(3y f X - (B ))3(y f X - (C ))3(31y f X -- (D ))3(31y f X - 7.已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hgp f e d x c b a x p y y y X Y Y jXi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e ( B ) (A )81(B )41 (C )83 (D )31 8.设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D ( C )(A )-14 (B )13 (C )40 (D )41 9.设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是( D ) (A )X 与Y 相互独立 (B )EY EX Y X E +=+)( (C )DY DX DXY ⋅= (D )EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ;)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回).已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==,Λ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E , 3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = . 答案:1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为0.8,0.7,0.6,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案:1. 0.72. 0.9763. 314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.(1)求取到的是白球的概率;(2)若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解:设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元;若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元;若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润(万元),则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E (万元)四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <;)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解: (1)5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ;(2),,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一:Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y ,两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二:因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注:21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数。