《概率与数理统计》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程《概率与数理统计》（编号为01008）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题11.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。

(1) A出现，B、C不出现；(2) A、B都出现，而C不出现；(3) 所有三个事件都出现；(4) 三个事件中至少一个出现；(5) 三个事件中至少两个出现。

2.在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。

设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片”。

试用样本点表示下列事件：（1）AB；（2）A+B；（3）B；（4）A-B；（5）BC3.写出下列随机试验的样本空间：（1）一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；（2）对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；（3）二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。

4.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

（1）A发生，B与C不发生；（2）A，B，C都发生；（3）A，B，C中不多于一个发生。

5.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。

试用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）至少有一人命中目标（2）恰有一人命中目标（3）恰有二人命中目标 （4）最多有一人命中目标 （5）三人均命中目标6. 袋内有5个白球与3个黑球。

从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

7. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。

加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。

8. 某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0），每个数字可从0，1，2，…，9中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。

9. 同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1，2，3，4，5，6），观察它们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。

10. 一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。

11. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-00)(22x x Be A x F x求（1）系数A 及B ；（2）X 的概率密度()f x ；（3）X 的取值落在（1，2）内的概率。

12. 假设X 是连续随机变量，其密度函数为2,02()0,cx x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他求：（1）c 的值；（2）(11)P X -<<13. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++，求常数Ａ，Ｂ，Ｃ(),()x y -∞<<+∞-∞<<+∞．14. 设随机变量X 的分布函数为0,1()ln ,11,X x F x x x e x e ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩求{2},{03},{252}P X P X P X <<≤<<；（2）求概率密度()X f x15. 设随机变量X 的概率密度为212(1),12,()0,x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.16. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=其它0101011)(x x x x x f ，求E(X)，D(X)。

17. 设X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=-022)(x e x e x f xx，试求|X|的数学期望。

18. 搜索沉船，在时间t 内发现沉船的概率为1t e λ--（λ>0），求为了发现沉船所需的平均搜索时间。

19. 设Ｘ服从参数为λ的指数分布，即Ｘ有密度函数,0()0,x e x f x λλ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他求：2E X E X （），（）。

20.*X =X 的标准化随机变量，求)()(**X D X E 及。

二、计算题221. 已知X~B(n,p)，试求参数n,p 的矩法估计值。

22. 设总体X 在[a,b]上服从均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=],[0],[1),,(b a x b a x ab b a x f ，试求参数a,b 的矩法估计量。

23. 设21,,N n X X μσ⋅⋅⋅是来自（，）的样本，求2μσ，的最大似然估计。

24. 设有一批产品。

为估计其废品率p ，随机取一样本X 1，X 2，…，X n ，其中⎩⎨⎧=取得废品取得合格品10i X （i=1,2,…,n） 则∑===ni i X n X p11ˆ是p 的一致无偏估计量。

25. 设总体X 的均值μ及方差2σ都存在，且有20σ>。

但μ，2σ均未知。

又设12,,...,n X X X 是来自X 的样本。

试求μ，2σ的矩估计量。

26. 某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布。

今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。

为判断这种想法是否合乎实际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s 2=7200（小时2）。

问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02，查表见后面附表）?概率论与数理统计附表χ2分布部分表常用抽样分布)1,0(~N nX U σμ-=)1(~/--=n t nS X T μ)1(~)1(2222--=n S n χσχ27. 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多少是相互独立的。

求：1、 同一时刻有8100户以上用电的概率；2、 若每户用电功率为100W ，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？（查表见后面的附表）概率论与数理统计附表 标准正态分布部分表2常用抽样分布)1,0(~N nX U σμ-=)1(~/--=n t nS X T μ)1(~)1(2222--=n S n χσχ28. 某种电子元件的寿命x （以小时计）服从正态分布，μ,σ2均未知，现测得16只元件，其样本均值为5.241=x ，样本标准方差为S=98.7259。

问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？29. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。

现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。

问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）常用抽样分布)1,0(~N nX U σμ-=)1(~/--=n t nS X T μ )1(~)1(2222--=n S n χσχ30. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。

现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。

问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）标准正态分布部分表常用抽样分布)1,0(~N nX U σμ-=)1(~/--=n t nS X T μ )1(~)1(2222--=n S n χσχ答案一、计算题11. 解：（1）ABC ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A+B+C ；（5）AB+BC+CA （每个3分）2. 解：（1）AB={2，4}；（2）A+B={1，2，3，4，5，6，8}；（3）B ={1，3，5，7}；（4）A-B={1，3}；（5）BC ={1,2,3,4,5,6,7,8}（每个3分）3. 解：（1）{（HH ）（HT ）（TH ）（TT ）}（2）{4，5，6，…}（3）{(12,0)(0,12)(1,2)(2,1)} 其中：1为一号球，2为二号球（每个5分）4. 解：（1）利用事件的运算定义，该事件可表示为ABC 。

（2）同理，该事件可表示为ABC 。

（3）CA CB B A ++（每小题5分）5. 解：（1）A B C ⋃⋃（2）ABC ABC ABC ⋃⋃ （3）ABC ABC ABC ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃ (5) ABC （每小题3分）解：基本事件的总数28C n =；基本事件数25C k =。

故所求的概率97.003.01)|(1=-=B A P ，98.002.01)|(2=-=B A P （10分）8. 解：第一位数字不能是0，这时，基本事件的总数为1069（3分）A 表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。

由于电话号码的前两个数字为24，后五个数字中每一个可以由0,1,2,…,9中任取，故对A 有利事件的数目为105。

（6分）于是90191010)(65==A P （15分）9. 解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（i ，j ），i,j=1,2,3,4,5,6，而i,j 可以重复，故基本事件的总数为62。

（5分）A 表示“两颗骰子掷得的点数不同”。

对A 有利的基本事件数等于所有i ≠j 排列方式的数目，即从1，2，3，4，5，6这六个数字任取其二作不可重复的排列方式数A 62，所以656)(226==A A P （15分）10. 解：记{}A =第一次为次品、B {}=第一次为正品，要求P AB （）。

（2分）已知90P A 0.1P B A 99（）＝，而（）＝，因此（8分） 90P AB P A P B A 0.10.09199（）＝（）（）＝＝（15分）11. 解：X 为连续型随机变量，()F x 应为x 的连续函数，应有（3）由⎰-==<<baa Fb Fdx x f b X aP )()()(}{式有12. 解：（1）因为()f x 是一密度函数，所以必须满足()1f x dx +∞-∞=⎰，于是有（5分）15分）13. 解：由分布函数的性质得：lim (arctan )(arctan )()()122x y A B x C y A B C ππ→+∞→+∞++=++=（４分）lim (arctan )(arctan )()(arctan )02x A B x C y A B C y π→-∞++=-+=（８分）lim (arctan )(arctan )(arctan )()02y A B x C y A B x C π→-∞++=+-=（１２分） 由此可解得21,,22C B A πππ===。

（１５分）14. 解：（1）0,1()ln ,11,X x F x x x e x e ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩{2}(2)ln 2X P X F <==（3分）{03}(3)(10)101X X P X F F <≤=-=-=（6分） 555{252}()(2)lnln 2ln 224X X P X F F <<=-=-=（9分） （2）0,()()'11X X f x F x x e x⎧⎪==⎨≤<⎪⎩其他，（15分）15. 解：因概率密度()f x 在1,2x x <>处等于零，即知当1x <时，()()00,xxF x f x dx dx -∞-∞===⎰⎰（3分）当2x >时，()()1()10 1.xxxF x f x dx f x dxdx ∞-∞∞==-=-=⎰⎰⎰（8分）当12x ≤≤时，12111()()02(1)112()2(2).x xxF x f x dx dx dx xx x x x-∞-∞==+-=+=+-⎰⎰⎰（12分）故所求分布函数是0,1,1()2(2),12,1, 2.x F x x x x x <⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩（15分）16. 解：⎰⎰⎰-+∞∞-=-++==0110)1()1()()(dx x x dx x x dx x xf X E （7分）⎰⎰⎰-∞+∞-=-++==-=01102222261)1()1()()]([)()(dx x x dx x x dx x f x X E X E x D （15分）17. 解：令Y=|X|，所以：⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞+-=+-==00122)(||)(dx e x dx e x dx x f x X E xx （15分）18. 解：设发现沉船所需要的搜索时间为X 。