Φ F 由 ( x ) D ,E ,G 2 , 得到
(Φ )8,9 ,10 (Φ ) 3, 4 ,3 Fh.
第五章
用差分法和变分法解平面问题
⑷ 对内结点1、2、3、4分别列出下列类型
的方程：
0点： 20Φ 0 8Φ1, 2,3, 4 2Φ 5,6, 7 ,8 Φ 9,10,11,12 0. 对结点1， 20Φ1 16Φ2 8Φ3 16Φ4 2 Fh, 对结点2， 8Φ1 22Φ2 16Φ3 4Φ4 4 Fh,
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
例题7 图中所示的薄板，厚度 1，三边 固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞 利-里茨的位移变分法求解，其中 0。 取 a b，
第五章
用差分法和变分法解平面问题
y
q
b
a a
x
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：在瑞利-里茨法中， 设定位移试函数应 满 足位移边界条件，并 应反映图示问题的 对称性。取
例题
(a) AB切开后，仍然处于闭合状态，不发生 张开。这是不稳定的平衡状态；
(b) AB线张开，出现裂纹。这是稳定的平 衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻 近的状态相比，总势能处于极小值，而 (a)、(b)两种状态的外力势能不变，因 此，(b)的形变势能小于(a)，即形变势 题
(c )
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
从式⑶可见，在平面应变情况下，形变势 能 U 中的第一、二、三项均大于平面应
1 μ 2 γ xy 不变。因 力情况下的值，而第四项 2
此，平面应变的形变势能 U大于平面应力 的形变势能U 。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
例题5 图中表示一板块，受到铅直方向 均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之 两端固定下来，若在其中切开一小口AB 时，试说明板的形变势能将发生什么变 化？
Φ B ( y B y ) fx d s ( x x B ) fy d s ,
A A
B
B
（其中 ΦB 即AB之间面力对B点的力矩，图 中以顺时针方向为正）。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
求出边界上各结点的值，如下图所示。 结点 A B CDEGH I
Φ y Φ x


对于平面应变情况，只需将上式中 ， E 变换为 μ E μ .(b) E , 1 μ 1 μ2
第五章
用差分法和变分法解平面问题
2
例题
2
1 E E E 1 ( )( )[ ]( )[ ], 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2
a
b
22
22
20
17
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：对a,b列出方程如下：
4Ta 32 35 22 Tb 0,
4Tb Ta 30 20 22 0.
解出
Ta 28.53,
Tb 25.13(度） .
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题2 用差分法计算图中A和B点的应力分量。 F
u A1u1 A1 ( x a ) xy,
2 2
2 2
由于体力 f x f y 0 ，面力只存在于AB边 （ y b ），因此求解 A1, B1 的位移变分方程 为：
a
6
B
3 a 1
F x
a
a
A 5 .7y
（Z向厚度 ） 1
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：为反映对称性，取A为基点。令
Φ Φ Φ A ( ) A ( ) A 0. x y
边界点的应力函数值： Φ2 Φ3 Φ4 ΦB 0.
Φ Φ 边界点的导数值： ( )3 0, ( ) B F . x y
11 H 10 9 8 G E D C I 3 4 3 B
F
12 J 2 1 2 A 3 4 3 h h h h
x
F
7 6
y
h=l/4 1
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：⑴本题具有的两个对称轴，为了反映对 称性，在 y 向外荷载作用下，取
Φ Φ ΦA ( ) A ( ) A 0 x y
1 6 qa A1 B1 . 5 5 E
由此解出 位移分量的解答是 2 qa x xy u 1.3125 (1 2 ) 2 , E a a 2 qa x v 1.4625 (1 2 ). E a
qa qa , B1 1.4625 . A1 1.3125 E E
u ( x a ) xy[ A1 A2 y A3 x ],
2 2 2
v ( x a ) y[ B1 B2 y B3 x ].
2 2 2
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
上式已反映了位移对称于y轴的要求：v为x的 偶函数，u为x的奇函数。 仅取各一项进行运算，
J
0
0
0
0 F/2 -Fh/2 F/2 -Fh
0
0
0
0
F/2 -Fh/2
Φ
读者可检验，上述的值反映了边界结点 和边界外一行虚结点上 Φ 值的对称性。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
⑶ 计算边界外一行结点的 Φ 值。
Φ 由 ( ) A, B , I , J 0, 得到 y (Φ ) 6 , 7 ,11,12 (Φ ) 2 , 3, 3, 2 ,
C D
A
l
B
E
F
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
解： ⑴当AB线切开时，AB线上的应力趋于 0。而形变势能是正定的，U 0 ，当这部 应力 0 时，相应的形变势能也失去因 此，板的总的形变势能减少。 ⑵ 当AB线切开后，边界CD和EF仍是固 定的，我们可以比较两种状态：
第五章
用差分法和变分法解平面问题
第五章
⑸按照应力公式 (σ x ) 0 1 (Φ 2Φ ), 2
h 1 (σ y ) 0 2 (Φ1, 3 2Φ0 ), h
2, 4 0
用差分法和变分法解平面问题
及 h l ，求得AJ及EI截面上的应力分量： 4
F (σ x ) J 1.4984 , l F F (σ x ) 2 0.4424 , (σ x )1 0.6136 ; l l F (σ y ) E 0.1648 , l F F (σ y ) 4 0.8912 , (σ y )1 2.0528 . l l
例题
例题6 单位厚度 ( 1) 的深梁，两侧边 固定，上下边受均布荷载q作用，如图所 示。试用位移变分法求解其位移。 （取 a b ， y 0 . 2 并设 ）。
b u v
b a
o
a
q
q
x
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：在图示荷载作用下，深梁的位移应对 称于y轴，而反对称于x轴。 因此，位移分量u应为 x 、 y 的奇函数， 而v为 x 、y 的偶函数， 如图所示。可以设定位移试函数如下：
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
再积分求 U ， a b
0 0
8 a 2 2E 4 b 2 1 4 b 2 8 A1 B1 A1 ]}. { A1 [ B 1 2 15 7 15 b 1 15 a 2 3a
U 4 U1dxdy
在本题中体力 f x f y 0 ，在 y b边界上 只有 f y q的均布荷载，f x 0 。由此，瑞 利-里茨方程成为
x xy 2 2 u (1 2 ) [ A1 A2 x A3 y ], a ab
x 2 2 v (1 2 )[ B1 B2 x B3 y ]. a
2
2
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
上式已满足两端的约束边界条件，
x a,
(u, v) 0,
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
例题1 例题3 例题5 例题7
例题2 例题4 例题6
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题1
40
35
30
25
设图中的矩形域 32 为 6m 4m ，取网 格间距为h=2m,布 置网格如图，各边 24 界点的已知温度值 （度）如图所示， 试求内结点a,b的稳 定温度值。
以及对称和反对称性条件。以下按瑞利里茨法进行计算。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
假设只取u，v中一项，即
2 x x xy v B1v1 B1 (1 2 ). u A1u1 A1 (1 2 ) , a a ab 将u和v代入形变势能公式（平面应力问
2
题），得：
2 2 4 E y x x 2 U1 { A (1 6 2 9 4 ) 1 2 2 2 2(1 ) ab a a 2 2 4 2 2 x x 1 2 x x x 2 x [4 B1 4 4 A1 B1 3 (1 2 ) A1 2 2 (1 2 2 4 )]}. 2 a ab a ab a a
网格结点编号如图所示。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
Φ Φ ⑵ 计算各边界结点处的 Φ 、 、 值。
F 在A点及J点，各取 布置于两侧，以 2
x
y
反映荷载的对称性，按公式
B B Φ Φ ( ) B f x d s ,( ) B fy d s , A A y x
显然，方括号内