第9章 思考题在下面思考题中A 、B 、C 、D 的备选答案中选择正确的答案。

（选择题答案请参见附录）9.1 若用积分法计算图示梁的挠度，则边界条件和连续条件为。

(A) x=0: v=0; x=a+L: v=0; x=a: v 左=v 右，v /左=v /右。

(B) x=0: v=0; x=a+L: v /=0; x=a: v 左=v 右，v /左=v /右。

(C) x=0: v=0; x=a+L: v=0，v /=0; x=a: v 左=v 右。

(D) x=0: v=0; x=a+L: v=0，v /=0; x=a: v /左=v /右。

9.2梁的受力情况如图所示。

该梁变形后的挠曲线为图示的四种曲线中的（图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线）。

xxxx x(A)(B)(C)(D)9.3等截面梁如图所示。

若用积分法求解梁的转角和挠度，则以下结论中是错误的。

(A) 该梁应分为AB 和BC 两段进行积分。

(B) 挠度的积分表达式中，会出现4个积分常数。

(C) 积分常数由边界条件和连续条件来确定。

(D) 边界条件和连续条件的表达式为：x=0:y=0; x=L,v 左=v 右=0,v/=0。

9.4等截面梁左端为铰支座，右端与拉杆BC 相连，如图所示。

以下结论中是错误的。

(A) AB 杆的弯矩表达式为M(x)=q(Lx-x 2)/2。

(B) 挠度的积分表达式为：y(x)=q{∫[∫-(Lx-x 2)dx]dx+Cx+D} /2EI 。

(C) 对应的边解条件为：x=0: y=0; x=L: y=∆L CB (∆L CB =qLa/2EA)。

(D) 在梁的跨度中央，转角为零(即x=L/2: y /=0)。

9.5已知悬臂AB 如图，自由端的挠度vB=-PL 3/3EI –ML 2/2EI,则截面C 处的挠度应为。

(A) -P(2L/3)3/3EI –M(2L/3)2/2EI 。

(B) -P(2L/3)3/3EI –1/3M(2L/3)2/2EI 。

(C) -P(2L/3)3/3EI –(M+1/3 PL)(2L/3)2/2EI 。

(D) -P(2L/3)3/3EI –(M-1/3 PL)(2L/3)2/2EI 。

AxAxM9.6 图示结构中，杆AB 为刚性杆，设ΔL1,ΔL2, ΔL3分别表示杆（1），（2），（3(A) ΔL 3=21223ΔL 1。

(C) 2ΔL 2=ΔL 1+ΔL 3。

(D) ΔL 3=ΔL 1+2ΔL 2。

9.7 一悬臂梁及其所在坐标系如图所示。

其自由端的(A) 挠度为正，转角为负； (B) 挠度为负，转角为正； (C) 挠度和转角都为正； (D) 挠度和转角都为负。

9.8 图示悬臂梁AB ，一端固定在半径为R 的光滑刚性圆柱面上，另一端自由。

梁AB 变形后与圆柱面完全吻合，而无接触压力，则正确的加载方式是(A) 在全梁上加向下的均布载荷； (B) 在自由端B 加向下的集中力；(C) 在自由端B 加顺时针方向的集中力偶； (D) 在自由端B 加逆时针方向的集中力偶。

9.9 一铸铁简支梁，如图所示．当其横截面分别按图示两种情况放置时，梁的(A) 强度相同，刚度不同； (B) 强度不同，刚度相同； (C) 强度和刚度都相同； (D) 强度和刚度都不同。

A A v第9章 习题积分法9.1 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。

(1) 试根据梁的弯矩图与支持条件画出挠曲轴的大致形状; (2) 利用积分法计算梁的最大挠度与最大转角。

习题9.1图解：（a ）（1M A ＝M e（2）画剪力图和弯矩图（3）画挠曲轴的大致形状（4）列弯矩方程],0[)(a x M x M e∈=（5）挠曲线近似微分方程xF S xMq MeA MeM AM AEI M dx v d e=22 （6）直接积分两次C x EIM v e+='=θ D Cx x EI M v e ++=22（7）确定积分常数边界条件：0 ,0 :0===v x θ求解得积分常数0 , 0==D C转角和挠曲线方程是x EIM v e ='=θ, 22x EI M v e =（7）最大转角与最大挠度。

EIaM v e ='=max θ, EI M a v e 22max =（b ）（1）求约束反力F A ＝F B ＝q a/2（2）画剪力图和弯矩图xxqBB F（3）画挠曲轴的大致形状（4）列弯矩方程],0[22)(2a x qx x qa x M ∈-=（5）挠曲线近似微分方程)22(1222qx x qa EI dxv d -= （6）直接积分两次C qx x qa EI v +-='=)64(132θD Cx qx x qa EI v ++-=)2412(143（7）确定积分常数边界条件：0 :0==v x 0 :==v a x求解得积分常数0 , 243=-=D EIqa C转角和挠曲线方程是24EIqa -)64(1332qx x qa EI v -='=θ xqx x qa EI v 24EI qa -)2412(1343-=（8）最大转角与最大挠度。

EIqa v 243='=θ,EI qa v 38454-=q9.2 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。

(1) 试写出计算梁位移的边界条件与连续条件;(2) 试根据梁的弯矩图与支持条件画出挠曲轴的大致形状。

习题9.2图解：（a ）（1）边界条件：0 :0==v x0 :==v l x（2）连续光滑条件：+-+-===θθ; :2v v lx （3）求约束反力F A =F B ＝M e /l（4）画剪力图和弯矩图(a)xF xM(a)(d)Bq(b)C(c)A q（5）画挠曲轴的大致形状（b ）（1）边界条件：0 :0==v x0 :2==v lx（2）连续光滑条件：+-+-===θθ; :2v v lx （3）求约束反力F A =F, F B＝2F（4）画剪力图和弯矩图（5）画挠曲轴的大致形状(a)CxM(b)CxF S（c ）（1）边界条件：0 0,:0===v x θ （2）连续光滑条件：2121; :2θθ===v v lx （3）求约束反力F A =ql/2, M A ＝3ql 2/8 （4）画剪力图和弯矩图（5）画挠曲轴的大致形状（d ）（1）边界条件：0 :0==v x 0 0, :===v l x θ（2）连续条件：21 :2v v lx ==F xM-3ql 2/8(c)C AF M A(c)Cq（3）求约束反力F A =ql/4 =F B , M B ＝ql 2/8（4）画剪力图和弯矩图（5）画挠曲轴的大致形状叠加法9.3 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数，试用叠加法计算截面B 的转角与截面C 的挠度。

习题9.3图(b)C(a)x(d)BqF S(d)Bq解：a ）（1）F 单独作用时EI Fl v EI Fl FC FB 48163)2)-==θ（2）Me 单独作用时EI l M v EI l M e MeC e Me B 48332))-==θ（3）P 和Mo 共同作用时EIl M EI Flv v v EIl M EI Fl e Me C FC C eMe B FB B 4834831623))2))--=+=+=+=θθθ（b ）EIFlEI Fl l EI Fl EI Fl l l EI lF v v v e C C C 4811325243)23(6)2(33232)2()1(=+-=+--=+=(1) +(2)(1)CA +(2)CEIFl EI lFl EI l M eB 42222===θ9.4 图示外伸梁，两端承受载荷F 作用，弯曲刚度EI 为常数，试问：(1) 当x/l 为何值时，梁跨度中点的挠度与自由端的挠度数值相等； (2) 当x/l 为何值时，梁跨度中点的挠度最大。

习题9.4图解：(2)C(2)C+(22)CA(21)CA (1+2)CD (1) + M B（1）自由端的挠度EIx l Fx EI Fx EI xx l M EI x x l M EI Fx v v v A A A 2)2(33)2(6)2(3233)2()1(---=-----=+= （2）中点的挠度EIx l Fx EI x l M v M8)2(16)2(222-=-=（3）中点的挠度与自由端的挠度数值相等时M A v v =EIx l Fx EI x l Fx EI Fx 8)2(2)2(3223-=-+ x (1)=0.705l （舍去）， x (2)=0.152l（4）跨度中点的最大挠度0=dxdv M08)812(22=+-=EIl xl x F dx dv M x (1)= l/2（舍去）， x (2)= l /69.5 试计算图示刚架截面A 的水平与铅垂位移。

设弯曲刚度EI 为常数。

习题9.5图F解：（1）水平位移δx分析CB 杆，由B 点水平位移引起EI Fah EI h M v B B x 2222===δEI Fah EI h M B B -=-=θ（2）铅垂位移δx分析AB 、CB 杆，由AB 杆A 点铅垂位移与CB 杆B 点转角引起A 点铅垂位移 EIh a Fa EI FahaEI Fa a v BAB A y 3)3(323)(+-=--=+=θδ9.6 试用叠加法计算图示各阶梯梁的最大挠度。

设惯性矩I 2＝2I 1。

习题9.6图解：（a ）13)1(3EI Fa v A -=(a)(b)M A =F a FB (1)A (2)A+131212)21(4323)2(3)22()2(3EI Fa a I E Faa aa I E a M v B A -=-=--=1312)22(125)23()2(6EI Fa a a I E Fa v A -=-⋅-=13131313)22()21()1(23125433EI Fa EI Fa EI Fa EI Fa v v v v A A A A -=---=++=∴（b ）由梁的对称性，其右半端的变形与图中悬臂梁的变形相同。

由上题结论得：1313max 432)2(3EI Fa EI a F v v v B C -=-=-==∴F B =F/2 (22)A (21)A+9.7 一跨度l=4m 的简支梁如图所示，受集度q ＝10 kN/m 的均布载荷和P ＝20kN 的集中载荷作用。

梁由两槽钢组成。

设材料的许用应力[σ]=160MPa ，梁的许用挠度[ f ]=l/400。

试选定槽钢的型号，并校核其刚度。

梁的自重忽略不计。

习题9.7图解：(1)求约束反力30 2204102kN P ql F F B A =+⨯=+== (2)画出剪力图和弯矩图(3)[][]33463max max max 125 1025.110160210402 2cm m M W W M=⨯=⨯⨯⨯=≥∴≤=-σσσ查槽钢表，选用18号，其抗弯截面系数是W=152 cm 3，I ＝1370 cm 4； (4) 按刚度进行校核：用叠加法求梁的最大挠度m ql Pl EI EI ql EI Pl v v C 0109.0384410105484102010137021020013845481384548214333894343max =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--==-M Fs 30刚度校核∵[ f ]=l /400=4/400＝0.01m ∴][m 0109.0max f v >= 轴的刚度不够。