第 12 讲§9 子群的陪集 （Coset of subgroup ）P 89—99本讲的教学目的和要求：在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系——他们是互相兼容的两个代数概念。

在群中引人一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。

进而引出拉格朗日（Lagrange ）定理，得到了“每个子集（元素）的阶都是有限母群阶的因子” 这一重要结论。

在本讲的学习中要求（1） 陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H 的联系要分辩清楚。

（2）陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能掌握。

（3） 群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项需要了解。

（4） Lagrange 定理和推论本身的掌握以及有关理论应用需要掌握。

本讲的重点和难点： 本节的内容中重点是对陪集概念的了解和lagrange 定理的应用，而难点在于学会并掌握有关陪集理论的等式命题证明。

一、陪集的引入引例1 对整数加群{}+,Z 而言，取定模4，则可确定Z 的一个分类：[][][][]{}3,2,1,04=Z 。

其中Z 中的4个剩余类分别为：[]{} ,8,4,0,4,8,0--=[]{} ,9,5,1,3,7,1--=[]{} 10,6,2,2,6,2--=[]{} ,11,7,3,1,5,3--=现利用群的观点，分析上述事实，可得到如下启示：(1) 在4Z 中剩余类[]{} ,8,4,0,4,8,0--=Z n n Z ∈∀==44是整数加群{}+,Z 的一个子集. 而其余的剩余类[]1,[]2,[]3都不是{}+,Z 的子群.(2) 其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类[] 有着密切的联系.譬如, []1就是用代表元1与[]0中每个元素相加所成的剩余类, []1即恰是用[]0中每个元素都加上1而形成的.一般地, 4Z 中的每个剩余类[]i 都是由[]0中每个元素普遍加上i (或加上[]i 中任取定的一个元素)而形成的.其中3,2,1,0=i . 引例2. 给定三次对称群()()()()()(){}132123,23,13,12,13=S 的一个分类{}M K H ,,=Ω.其中这三个分列为: ()(){}12,1=H ， ()(){}123,13=K ，()(){}132,23=M 。

同上例一样可以发现：(1) 分类Ω中只有H 是3S 的子群，而M K ,都不是3S 的子群。

(2) K 恰是由(13)右乘H 中每个元素而形成的类:()()()13131=， ()()()1231312=(或者说是由(123)右乘H 中每个元素而形成的类).同理,M 是由(23)(或(132))右乘H 中每个元素形成的类.总之, Ω中每个类,都是由本类中任取定一元素右乘H 中每个元素而得到的.上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但它们的分类都有一个共同的特点：① 分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都不是子群.② 每个类正好是这个子群中的所有元素都加(乘)上这个类中任取定的一个元素.具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内容.(在下面 的讨论中,都是在乘群上展开的).定义1. (集合的积) 设X 和Y 是群G 的二个非空子集,于是X 与Y的积记为 Y y Z x xy XY ∈∀∈∀=,特别地,如果{}y Y =是一个单元集,而设{} ,,21x x X =,那么X 与Y 的积为 {}{} ,,21y x y x y X XY ==.此时我们记XY 为Xy ,并称Xy 为元素y 右乘X 的积.定义2. (子群的陪集) 设G 为任意的群,G H ≤而,G a ∈∀, 那么(1) 形如Ha 的子集,叫做子群H 的一个右陪集,其中a 叫做代表元.(2) 形如aH 的子叫做子群H 的一个左陪集,其中a 叫做代表元.由此可见,子群H 的陪集正是H 与元素a 相乘的积,当a 从右方去乘H 时,则得到右陪集. 反之得到左陪集.(下面只对右陪集展开讨论).明示1. 在引例2中,自然有()()()12313,1H H K H H ===,()()13223H H M ==. 所以有3S 的分类()()23133H H H S =.思考题1 若G H ≤,又设G a ∈,那么“aH Ha =”成立吗?为什么? 答：由于G 不一定是变换群,所以aH Ha =未必成立.比如,在引例2中,()()(){}23,123123=H ，而()()(){}13,123123=H ，()()123123H H ≠∴.二、陪集的性质.二个右陪集相等是什么意思?在什么条件下才会发生呢? 明示2. 设G H ≤,令{} ,,,,321h h h e H =, 若取G b a ∈,,那么有陪集{} ,,,,321a h a h a h a Ha = {} ,,,,321b h b h b h b Hb =.如果“Hb Ha =”,那么代表着二个集合相等而千万不能记为 “b h a h i i =”, ,3,2,1=i明示3. 设M N ,都是群G 的非空子集(不一定是子群)如果,M N =,则取任意G a ∈,必有 Ma Na =.定理1. 设G H ≤, G b a ∈∀,,于是有(1)H ab Hb Ha Hb a ∈⇔=⇔∈-1 (2) H ba Hb Ha Ha b ∈⇔=⇔∈-1.证明： (只需证明(1),因为(2可同理证得))(ⅰ) ()Hb Ha Hb a =⇒∈Hb a ∈ , 由陪集的含义可知,必存在H h ∈使 hb a =,即 .1a h b -=H h Ha x ∈∃⇒∈∀1使 ()()b h h hb h a h x 111===H hh G H ∈⇒≤1 ()Hb Ha Hb h h x ⊆⇒∈=∴1.H h Hb y ∈∃⇒∈∀2使 ()()a h h a h h b h y 12122-===同理 H h h ∈-12 ()Ha Hb Ha a h h y ⊆⇒∈=∴-12由上分析知,Hb Ha =.(ⅱ) ()H ab Hb Ha ∈⇒=-1.Hb Ha = , ∴ 当任取Hb Ha ha =∈ 时H h ∈∃⇒' 使b h ha '=,经调整得,H h h ab ∈=--'11,即1-ab H ∈. (ⅲ) ()Hb a H ab ∈⇒∈-1H ab ∈-1, 则存在H h ∈使h ab =-1,于是 Hb hb a ∈=即 Hb a ∈ .由上述(ⅰ)(ⅱ)和(ⅲ)知 (1)成立.明示4. 利用定理1和明示3可知下列命题必是等价的：H Hba H Hab Hb Ha Ha b Hb a =⇔=⇔=⇔∈⇔∈--11 H ba H ab ∈⇔∈⇔--11明示5. 利用定理1知, 每个陪集中任一个元素都可以“担任”该陪集的代表元,进而知,每个陪集一般其表示形式是不唯一的.定理2. 设G H ≤,设G b a ∈,,那么(1) Ha a ∈.(2) 对于陪集Ha 和Hb 而言,只有二种关系：Hb Ha = 或 ∅=Hb Ha(3) Ha G Ga ∈= . 证明：(1) G H ≤ a ea H e =∈∴而 .,Ha a Ha ea a ∈∈=∴即(2) 如果 ∅≠Hb Ha ,,Hb Ha x ∈∃⇒由定理1Hb Hx Hx Ha ==⇒,, Hb Ha =∴.(3) 每个陪集Ha 都是G 的子集⇒这些陪集的并也是G 的子集, Ha G Ga ∈⊇∴ .别外,G g ∈∀ 由 (1)Hg g ∈⇒. 但Ha 是G 的陪集,即Ha Hg G a ∈⊆ , Ha g Ga ∈∈∴ .由g 的任意性 Ha G G a ∈⊆⇒ , 所以 Ha G Ga ∈⊆ . 可以利用引例2对定理2作进一步的解释：设3S H ≤,其中()(){},12,1=H 用3S 中全部b 个元素做代表元,则变得b 个陪集：()()(){},12,11=H()()(){}1,1212=H . ()()(){}123,1313=H ()()(){}.132,2323=H()()(){},13,123123=H ()()(){}.23,132132=H首先,从上全部陪集中看到：每个陪集的代表元都含在该陪集内.其次,上列中任二个陪集要么相等,要么不相交.最后,将上列不重复的全部陪集并起来后恰好等于3S .注意：Ha Ga ∈ 似乎表明全部陪集的并，然而由集合论的知识知道，只需取那些不重复的陪集作并即可，例如，3S 中全部的右陪集共6有个，然而不重复的只有3个，故()()2313H H H S =。

三．群的陪集分解由定理1知，“H ab ∈-1”的真正含义是“a 与b 同在一个陪集之中”，那么将“同在一个陪集”看作是群的一个关系，这个关系有何性质？定理3 设G H ≤,在G 中定义关系“～”：,,G b a ∈∀a ～b H ab ∈⇔-1 那么“～”必是个等价关系。

证明： (1) G a ∈∀. H e aa ∈=-1 ∴a ～a(2)若a ～b H ab ∈⇒-1,由明示4⇒,1H ba ∈- ∴ b ～a .(3) 若a ～b 且a ～c ,则有H ab ∈-1且H bc ∈-1. ()()H ac bc ab G H ∈=⇒≤---111, 即 a ～c .由(1),(2),(3)知关系“～”是中的一个等价关系.由第一章§10知,集合中的每个等价关系都可确定一个分类,所以,上述群G 的等价关系“～”决定了G 的一个分类：Ha G Ga ∈= . 定义3 设G 是群,而G H ≤,由a ～b H ab ∈⇔-1决定的G 中的分类Ha G Ga ∈= 叫做G 的一个陪集分解. 譬如 ()()23133H H H S =或 ()()1321233H H H S =()()132133H H H S =由上例可见群的陪集分解有下列特点：① 分解式中必含有子群H (即以单位元为代表的陪集)而其余的陪集都不是3S 的子群.② 陪集分解式中出现的陪集彼此都不相交.③ 分解式中每个陪集的代表元都可以适当替换.④ 分解式中陪集的“边旁”要一致(要么都是右陪集,要么都是左陪集)明示6 在三次对称群的陪集分解式()()132133H H H S =中, 易发现, ()()H H H S 132133 ≠. 这个事实告诫我们：群的陪集分解式一旦遇到边旁过渡时(即以右(左)陪集过渡到左(右)陪集)陪集的代表元可能要重新考虑,一般地,如果m Ha Ha Ha Ha H G 321=是群G 的陪集分解,那么H a H a H a H a H G m 321=未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 在这个问题上,可以从N ·Jacobson 著《/》中得到启发.四、右陪集第与左陪集的对应关系设G H ≤，若H 的所有不重复的右陪集做成的集合用R S 表示类似地用L S 表示H 的全部不重复的左陪集做成的集合。