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第 14 章 数项级数
14.1 本章要点详解
本章要点
■幂级数 ■收敛半径 ■幂级数的性质 ■泰勒级数 ■初等函数的幂级数展开式
重难点导学 一、幂级数的收敛区间 1．幂级数 （1）定义 一般项为幂函数的函数项级数称为幂级数． 幂函数的一般形式为
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敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数在这一端点上右（左）连续．
（2）幂级数（14-1）及其在收敛区间（－R，R）上逐项求导所得的幂函数
a1 2a2x 3a3x2 nan xn1
及逐项求积所得的幂函数
，
这里 Rn（x）是 f 在 x0 处的泰勒公式余项．
（2）如果 f 能在点 x0 的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数 f 在点 x0 的这一
邻域上可以展开成泰勒级数，并称等式
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的右边为 f 在 x＝x0 处的泰勒展开式，或称幂级数展开式．函数在 x0＝0 处的展开式为
[a，b]⊂（－R，R）上，幂级数（14-1）都一致收敛． ②若幂级数（14-1）的收敛半径为 R（＞0），且在 x＝R（或 x＝－R）时收敛，则级数
（14-1）在[0，R]（或[－R，0]）上一致收敛． 2．幂级数的性质 （1）幂级数（14-1）的和函数是（－R，R）上的连续函数；若幂级数（14-1）在收
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二、证明题
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1．设
，证明不论
在 x＝r 处是否收敛，只要
在 x＝r 处收敛，
就成立，并由此证明
．[北京理工大学
2005 研]
证：因为
在 x＝r 处收敛，所以
的收敛半径大于等于 r，从而
的收敛半径也大于等于 r，于是由幂级数的逐项可积性知
因为
在 x＝r 处收敛，所以
在[0，r]上连续，故
在[0，r]上一致收敛，所以
于是 由于 所以
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2．证明函数
在（1，＋∞）上无穷次可微．[北京大学 2001 研]
证：（1）先证 f（x）在（1，＋∞）上可微．任取 使得
事实上，当 k
＝1 时，由（1）知结论成立． 假设 m＝k 时结论成立，则当 m＝k＋1 时，考察
an bn
(n 1, 2,...)
（2）若幂级数
与
的收敛半径分别为 Ra 和 Rb，则有
式中λ为常数，
．
二、函数的幂级数展开
1．泰勒级数
（1）设 f 在点 x0 具有任意阶导数，那么 f 在区间（x0－r，x0＋r）上等于它的泰勒级
数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式∣x－x0∣＜r 的 x 有
着重讨论 x0＝0，即
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（14-1）
的情形．
（2）阿贝尔定理
若幂级数（14-1）在
处收敛，则对满足不等式
的任何 x，
幂级数（14-1）收敛而且绝对收敛；若幂级散（14-1）在
处发散，则对满足不等
式
的任何 x，幂级数（14-1）发散．
具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即
f (x) a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 f (x) 2a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
f (n) (x) n!an (n 1)n(n 1)2an1x
（5）记 f 为幂级数（14-1）在点 x＝0 某邻域上的和函数，则幂级数（14-1）的系数
a0 x
a1 2
x2
a2 3
x3
an n 1
xn1
具有相同的收敛区间．
（3）设幂级数（14-1）在收敛区间（－R，R）上的和函数为 f，若 x 为（－R，R）上
任意一点，则
①f 在点 x 可导，且
②f 在区间[0,x]上可积，且
（4）记 f 为幂级数（14-1）在收敛区间（－R，R）上的和函数，则在（－R，R）上，
与 f 在 x＝0 处的各阶导数有如下关系
a0
f (0) , an
f (n) (0) n!
(n 1, 2,)
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3．幂级数的运算
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（1）若幂级数
与
在 x＝0 的某邻域内有相同的和函数，则它们
同次幂项的系数相等．即
（3）收敛半径
对于幂级数（14-1），若
则 ①当 0＜ρ＜＋∞时，幂级数（14-1）的收敛半径 ②ρ＝0 时，幂级数（14-1）的收敛半径 R＝＋∞； ③当ρ＝＋∞时，幂级数（14-1）的收敛半径 R＝0． （4）一致收敛性 ①若幕级数（14-1）的收敛半径为 R＞0，则在它的收敛区间（－R，R）内任一闭区间
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同理 f（x）＝lnx 在 x＝1 处的泰勒展开式为
它的收敛域为（0，2]．
14.2 配套考研真题解析 一、选择题 下列函数中不能在 x＝0 处展开成幂级数的是（ ）．[南京航空航天大学 2004 研] A． B． C． D． 【答案】A 【解析】幂级数其实是泰勒展开式的扩展，所以要求函数在 x＝0 处 n 阶可导，n＋1 阶导数存在．而选项 A 在 x＝0 处的导数不存在，所以不能展开成幂级数．故选 A．
，则 ＞0
在
上，考察
由于
而
由比较判别法知级数
收敛，从而函数项级数
在
上一致收敛． 故函数 f（x）在
上可微且
特别地， ＋∞）上可微．且
由 x0∈（1，＋∞）的任意性，f（x）在（1，
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（2）再证对任意自然数 k，均有
称为 f 的麦克劳林级数．
注：幂级数的展开式是唯一的．
2．初等函数的幂级数展开式
（1）k 次多项式函数
的
展开式为
即多项式函数的幂级数展开式就是它本身． （2）函数 f（x）＝ex 的展开式为
（3）函数 f（x）＝sinx 的展开式为
逐项求导，函数 f（x）在（－∞，＋∞）上有
（4）函数 f（x）＝ln（1＋x）的麦克劳林级数为