东华大学 2013----2014 学年第 一 学期 试卷A 卷
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称 高等数学（1） 使用专业 卓越工程师计划相关专业 教师 班号 姓名 学号 考试教室
一．填空题（每小题 4分，总计 40 分 ）
1、222111lim(1)(1)(1)23n n
→∞-
-⋅⋅⋅-= 。

2、计算31lim()31x x x x →∞+-= 。

3、计算n = 。

4、设x
y x =,则=dy 。

5、设()y f x y =+,其中f 二阶可导,则y '= 。

6、设()()(ln )f x g x f x e =, f 一阶可导，求(1)g '= 。

7、求曲线sin
,2cos x t t
y t
=+⎧⎨=-⎩在1=t 点处的法线方程 。

8、曲线y shx =的拐点的横坐标是 。

9、曲线211
x x y x --=-的渐近线有 。

10、()x f x xe =按x 的幂展开的n 次泰勒多项式 。

二．选择题（每小题 3分，总计18分 ）
1、下列判断是错误的[ ]
（A ）两个无穷小量之和仍是无穷小量；（B ）两个无穷大量之和仍是无穷大量；
（C ）两个无穷小量之积仍是无穷小量；（D ）两个无穷大量之积仍是无穷大量；
2、当0x →是x 的[ ]
（A ）等价无穷小； （B ）同阶无穷小；
（C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小；
3、已知()x φ在x a =处连续,则下列函数在x a =处不可导的是[ ]
（A ）()()x a x φ-； （B ）()x a x φ-；
（C ）()()x a x φ-； （D ）2()()x a x φ-；
4、0x =是1121arctan 01()0
2x x e x x e f x x π--⎧-≠⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ 的[ ]间断点. （A ）可去间断点； （B ）无穷间断点；
（C ）跳跃间断点； （D ）振荡间断点；
5、若()f x 为可导的偶函数,则曲线()y f x =在任一点(,)x y 和点(,)x y -处的切
线斜率[ ]
（A ）彼此相等； （B ）互为相反数；
（C ）互为倒数； （D ）不能确定其关系。

6、设1)
()()(lim 2-=--→a x a f x f a x ，则[ ] （A ）x a =为)(x f 的极大值点； （B ）x a =为)(x f 的极小值点；
（C ）x a =为)(x f 的驻点,但不是极值点；（D ）以上都不对。

三．解答下列各题（每小题5分，总计15 分 ）
1
、求0x x →
2、求函数23
()(25)f x x x =-的单调区间。

3、设函数253x y +=，求()n y 。

四、（8分）设22(cos 1)0(),10a x x f x x
ax bx x -⎧<⎪=⎨⎪++≥⎩
当,a b 取何值时, ()f x 在(,)-∞+∞内处处可导?
五、（7分）一个公司一天能制造x 百个A 级轮胎和y 百个B 级轮胎,其中04
x ≤≤且40105x y x
-=-, A 级轮胎的利润是B 级轮胎利润的2倍。

为获得最大利润每类轮胎应各制造多少?
2.236≈)
六、（7分）直径为8米的一球形铁球被一层均匀的冰所覆盖。

如果冰以103/米分的速率融化,当冰层厚为2米时冰层的厚度衰减会有多快?
七、（5分）设函数)(x f 在闭区间[-1,1]上连续,在开区间(-1,1)内可导,且有(1)1f -=,(1)1f =-试证明存在(1,1)ξ∈-,使[()]()()f f f ξξξξξ'+=-.。