=
1 4
⎜⎜⎝⎛
π 3
−
3 4
⎟⎟⎠⎞.
o
x
六、设 Ω 是由 z ≥ 0, z ≤ 3( x2 + y2 ), x2 + y2 − y ≤ 0 所确定
的积分域，将三重积分 ∫∫∫ f ( x2 + y2 + z2 )dv 化为 Ω
柱面坐标系下的三次积分，其中 f 是连续函数.
∫∫∫ f ( x2 + y2 + z2 )dv Ω
y
2
)
3 2
（其中
a
>
0
是常数）.
∫ ∫ 原式 =
π
4 dθ
0
a cosθ
0
rdr
(a 2
+
r2
3
)2
dr
∫ ∫ +
π
2 dθ
π 4
a sin θ
0
rdr
(a 2
+
r
2
3
)2
dr
y
a
o
ax
π
∫= 4 − 0
a
∫ 1
cos θ
π
dθ + 2 −
a2 + r2 0
π 4
a
1
sin θ
dθ
a2 + r2 0
−secϕ
2
十、设球体 x2 + y2 + z2 ≤ 2az 内各点的体密度与原点
到该点的距离成反比，求此球体的质量和z 质心.
ρ(x, y, z) =
k
,
x2 + y2 + z2
∫∫∫ M =
k
dv
Ω x2 + y2 + z2
•R
O
y
∫ ∫ ∫ =
2π dθ
π
2 dϕ
2a cosϕ
k
⋅r2
sin ϕdr
y )dxdy
=
lim
ρ→0
1 πρ 2
f (ξ ,η )πρ 2
= lim f (ξ ,η ) = f (0,0). ρ→0
二、用二重积分求在极坐标系下由 r ≤ a(1 + cosθ ) 与
r ≥ 2a cosθ 所确定的平面图形的面积.
y
∫ ∫ A = 2[
π
2 dθ
a(1+cosθ )
rdr
=
t
=
4a 2
π
2 cos4 t ⋅ 2dt − πa 2
0
2
0
= 8a2 3 ⋅ 1 ⋅ π − πa2 = π a2 .
422
2
三、求曲面 z = 2 − x2 − y2 被平面 z = 1 所截下的有
限部分的面积.
z2
⎧z ⎨ ⎩z
= =
2− 1
x2
−
y2
⇒
x2
+
y2
=
1
Dxy : x2 + y2 ≤ 1,
0
2a cosθ
∫ ∫ +
π
dθ
a(1+cosθ )
rdr ]
π 2
0
∫ ∫ 或A = 2 π dθ a(1+cosθ ) rdr − πa2
0
0
o
2a
x
∫= π a2 (1 + cosθ )2 dθ − πa2 ⎜⎛ = π a2 ⎟⎞
0
⎝2 ⎠
∫ ∫ = a2
π
22
cos4
θ
dθ
− πa2
令
θ 2
∫ 或⎜⎜⎝⎛ 令 sinθ =
π
2 sin t 6 0
2 2
cos t cos 2
t
dt
=
π 6
⎟⎟⎠⎞,
π
∫ ∫ π
而−2
sinθ
π
dθ = 2
d cosθ
= arcsin cosθ 2 = − π ,
π 4
1 + sin2 θ
π 4
2 − cos2 θ
2π 6
4
∫ 或⎜⎜⎝⎛ 令 cosθ =
0
r
Ω
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 或(球)
6zdv = 6 2π dθ
π
4 dϕ
2cosϕ r cosϕ ⋅ r 2 sinϕdr = 24π .
0
0
0
Ω
1
1 五、求由曲面 2
y = x, z =
y − x2 及平面 y = 1 在第
一卦限与平面 z = 0 所围成的立体z 的体积.
抛物柱面y = 4x2在内， Ω
高等数学第九章自测题解答
0
4− x2
∫ ∫ 一、1．交换二次积分
dx
−2
− x−2
f ( x, y)dy 的积分次序.
y
0
0
4
0
∫ ∫ ∫ ∫ I = dy f ( x, y)dx + dy
f ( x, y)dx
−2 − y−2
0
− 4− y
∫ ∫ 2.
将二次积分
π
2 dθ
0
2 cosθ 0
r
2dr
=
4
x
πa
2k
,
0
0
0
r
3
∫∫∫ 由对称性 x = 1
kx
dv = 0,
M Ω x2 + y2 + z2
∫∫∫ y = 1
ky
dv = 0,
M Ω x2 + y2 + z2
∫∫∫ z = 1
kz
dv
M Ω x2 + y2 + z2
∫ ∫ ∫ =
2π dθ
π
2 dϕ
2acosϕ kr cosϕ ⋅ r 2 sinϕdr
0
0
a 0
(a
−
x)e m(a− x )
f
( x)dx
，
（a, m 为常数，且 a > 0 ）.
y a
交换积分次序
∫ ∫ 左端 =
a
dx
a
e
m(a−
x)
f
(
x)dy
0
x
o
x
∫= a (a − x)em(a−x) f ( x)dx = 右端 0
∫∫ 4.
求极限
1
lim
ρ→0
πρ
2
f (x,
x2+ y2≤ρ2
z
∫ ∫ ∫ 柱：I =
2π dθ
1
2 rdr
−1 f (r cosθ , r sinθ , z)dz
0
0
−2
o
∫ ∫ ∫ + 2π dθ
2
rdr
−
2r f (r cosθ , r sinθ , z)dz,
x
0
1
−2
•− 1
y
2
• −2
2
九、把三重积分 ∫∫∫ f ( x, y, z)dv 分别化为柱面坐标、 Ω
•1
o
y
x
dS = 1 + zx + z y dxdy = 1 + 4x2 + 4 y2 dxdy,
∫∫ ∫ ∫ S = 1 + 4x2 + 4 y2 dxdy = 2π dθ 1 1 + 4r 2 rdr
0
0
D
( ) = π 5 5 − 1 . 6
四、计算 ∫∫∫ (3x + 5 y + 6z)dv ，其中Ω 为曲面 z = z x2 + y2
y)dxdy ,
其中 f ( x, y)在原点附近连续 .
Q ( x, y)在原点附近连续，由积 分中值定理
∫∫ f ( x, y)dxdy = f (ξ ,η )πρ 2 , ∃(ξ ,η ) ∈ x 2 + y2 ≤ ρ 2
x2+ y2≤ρ2
∫∫ ∴
lim
ρ→0
1 πρ
2
f (x,
x2+ y2≤ρ2
抛物面x2 + z2 = y在外.
∫∫ y − x2 dxdy
Dxy
∫ ∫ 1
= dy
y
y − x2 dx
0
y 2
( ) 令x = y sin t
.
0
x z = y − x2
y 1
1 1y x=2 y y =1
y = 4 x 2 Dxy y = x 2
∫=
1y 02
⎜⎜⎝⎛
π 3
−
3 4
⎟⎟⎠⎞dy
球面坐标系下的三次积分，其中Ω 是由曲面
z2 = 2( x2 + y2 ), z = −1与z = −2 所围成的空间区域.
∫ ∫ ∫ 柱：I =
2π dθ
1
2 rdr
−1 f (r cosθ , r sinθ , z)dz
0
0
−2
z
∫ ∫ ∫ + 2π dθ
2
rdr
−
2r f (r cosθ , r sinθ , z)dz,
∫ ∫ ∫ =
π dθ
sinθ
rdr
3r
f(
r 2 + z 2 )dz.
0
0
0
七、计算
I
=
∫∫∫ Ω
y sin x
x
dv
，其中Ω
是由平面