P1A P2
P2 A P1A2 P3

Pn2 A P1 An2 Pn1 Pn1 A P1 An1 Pn
能达
2. 定理1
设 x Ax Bu
状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：
Sc B AB
An1B的秩为n
即： rankSc rank B AB
An1B n
1 3 2 2 1
例：
.
x

0
2
0
x


1
1 u
0 1 3 1 1
rank P1[B AB An1B]
rank[B AB An1B]
rank SC
P1 满秩矩阵
系统的能控性不变
7. 定理4：
.
设 x Ax bu
如则果必系存统在能 一控 个， 非则 奇异SC变换[BXABPA1nx1B]
可将状态方程化为能控标准型：
.
20
2
则该系统能控．
5.
当Ａ的特征 值 l ( l重根）,
1
(1重根）1
22
(2重根l ）n
，
且
x Px
则可以经过
将A化为约当型.
如下:
且 ri1 ri2 rii i
由 Bik (k 1,2,,i ) 的最后一行组
成的矩阵：
Bir
y= uc --输出.
L
+ iL R1
(1)当 R1R4 R2R3 R2 状态可控，可观测
u -
R3 uc
R4
(2)当 R1R4 R2R3 uc
u只能控制 iL，
0
不可控，不可观测．
一、线性系统能控性和能观性的概念 含义：
能控性：u(t) x(t) 状态方程 能观性：y(t) x(t) 输出方程
x Ax bu
其中：
A PAP1 b pb
0 1 0 0

0
0
1
0

A



0
0
0
1

a1 a2 a3 an1
0
0
b 0



1
且：
证明： PA AP (由A PAP1 推得 )
第八章 现代控制理论能控性、能观测性
一、线性系统能控性和能观性的概念 二、线性定常系统的输出能控性 三、线性定常连续系统的能观性 四、线性定常连续系统的能观性
教学要求：
1.正确理解定常系统可控性与可观 性的基本概念与判据。
2.熟练掌握能控标准型与能观标准型。 3.掌握对偶原理，规范分解方法。
重点内容： •能控、能观的含义和定义。 •定常系统的能控、能观的各种判据。 •线性变换的不变性。
研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统.
含义1:
控制作用: 对状态变量的支配 能控性. 系统输出能否反映状态变量 能观性.
含义2:
能控性:能否找到使任意初态 确定终态 能观性:能否由输出量的测量值 各状态
例1: 给定系统的状态空间描述:

.
x1
.
x 2


4 0
1. 定义：
.
设 x Ax Bu
若存在一分段连续控制向量u(t)，
能移在到任[t0意t终f ]内态将x系(t统f )从，任则意 该系状统态x完(t0转全)
能控．
说明：
① 任意初态 x(t0 ) x(状态空间中任
一点),零终态 x(t f ) ＝０ 能控
② 零初态x(t0) 0
任意终态 x(t f ) x
0 5

x1 x2


1 2u
解:展开 y 0. 6x
.
x1 4x1 u x2 5x2 2u
y 6x2
表明:状态变量 x1, x2 都可通过选择输入u而由
始点 终点完全能控.
输出y只能反映状态变量 能观测.
x
2
,所以
x1
不
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入,


bri1 bri 2




对i
1, 2,
brii
则系统能控
, l均为行线性无关
.
例：设 x Ax Bu ，已知
0 0 0
1
0
0
0 1 0
B 0 0 1
1 0 0


0 1 0
1 0 0
Br 1

0 1
若Ａ为约当型，则状态完全能控的 充要条件是：
对应的每一个约当块的最后一行相 应的Ｂ阵中所有的行元素不全为零．
.
例：设系统的状态方程为 x Ax bu
其中：
A

1

0
1
2

b

b1 b2

试判断系统的能控性．
解： Sc [b Ab]
b 而Sbc 1是b任A意b值，bb12且ra1nbk11Sb2cb2=2
.
3. 定理2：若x Ax Bu ，
若Ａ为对角型，则状态完全能控的 充要条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1

1
x1

b11u1b12u2

b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
.
例：线性系统的状态方程为x Ax bu
.
x

x1

x2

.
u

u1 u2

判x3断 能控性
解： Sc [B AB A2B]
2 1 3 2 5 4


1
1
2
2
4
4

1 1 2 2 4 4
rank =2<3,不能控
Sc
对于：
行数＜列数的情况下求秩时：
rank Sc =ran[kSc ScT ]nn
其中：
A

1

0
0
2

b

b1 b2

试判断该系统的能控性．
解： Sc [b Ab]
Sc b Ab
如果rank S c
b1 b2
=2,
1b1 2b2
b1b2 (2Байду номын сангаас
1)
则必须要求b1 0, b2 0
.
4. 定理3：设x Ax Bu ，
1 0
0 0
行线性无关
B
r 2

1
0
0
不全为零
能控

6. 线性变换后系统的能控性不变
设
.
x Ax Bu
令
x
SPC

x
[
B
AB . An1B]
则：x Ax Bu
其中：A P1AP, B P1B
SC [B
AB
n1
A
B]
rank Sc rank[P1B (P1AP)P1B(P1AP)n1 P1B] rank[P1B P1AB P1An1B]