农业 轻工业 重工业
其它
农业 1． 109 0． 0464 0． 4114
0．0904
轻工业 × × × ×
重工业 × × × ×
其它 × × × ×
上表的第一列表明：要保证农业部门能提供一亿元的 最终产品，则农业部门的生产量要达到1·109亿元， 轻 工 业 部 门 要 达 到 0·0464 亿 元 ， 重 工 业 部 门 要 达 到 0·4114亿元，其它部门要达到0·0904亿元。其中农业 部门生产总量只超过最终产品的部分（0·0904亿元） 以及引起其它各部门生产的数量，都是因为农业生产
Bv Av (B I )或者是Bv Av (I A)1
（2·7）
其中， Bv ——完全劳动消耗系数行向量， Bv (bv1, bv2 ,, bvn ) ；
Av ——直接劳动消耗系数行向量， Av (a01, a02 ,, a0n ) 。
二、实物型投入产出表的特点
1、实物型投入产出表的实物量作为计量单位，各类 产品的计量单位并不相同，表的纵列不能相加。
产品投入与产出的关系。若用“负”号表示投入，用 “正”号表示产出，则矩阵中每一列的含义说明，为生 产一个单位各种产品，需要消耗（投入）其它产品（包 括自身）的数量。而主对角线上各元素，则表示各种产 品扣除自身消耗后的净产出比重。同时，也可看到，此 矩阵的“行”则没有经济含义，因为每一行的元素不能 运算。
2、实物形态投入产出模型
（1） 实物形态投入产出模型的表式
在实物投入产出表中，是以产品来进行分类的，其计量 单位则是以实物单位来计量的。简化的实物形态投入产 出表如下所示：
上表的简要解释：
从行向看，反映的是各类产品的分配使用情况，其
中一部分作为中间产品供其它产品生产中使用（消 耗），另一部分则作为最终产品供投资和消费使用， 两部分相加就是一定时期内各类产品的生产总量。从 列向看，反映了各类产品生产中要消耗其它产品（包 括自身）的数量。但应指出的是，由于列向各类产品 的计量单位不一致，故不能进行运算，因此，实物投 入产出模型只有行模型没有列模型。
1、计算直接消耗系数矩阵 该象公限式“其aij 他 Qq”ijj 项所对应的列，无法得到包括在模型中
的产品的总产出量，各不能计算值接消耗系数。
40 30 40
200
A
0 200
20
150 15
150 15
200 8
200 40
0.2 0 0.1
0.2 0.1 0.1
0.2 0.4 0.2
的范围多而全。一般来说，价值投入产出表的行反映各
部门产品的实物运动过程，而列则反映各部门产品的价
值形成过程。简化价值投入产出表形式如下：
分配去向 投入来源
物 部门 1
部门 2
质
…
消 部门 n
中间产 品
部门 1 部门 2 …
部门 n
x11 x12 … x1n
x21 x22 … x2n
…
…
xn1 xn2
200
150
200
2、建立引入A的数学模型 利用公式Y=（I-A）Q，得：
y1 0.8 0.2 0.2Q1 10 y2 0 0.9 0.4Q2 _15 y3 0.1 0.1 0.8 Q3 25
3、建立引入B的数学模型
计算完全需求系数 (I A)1
1.3127 0.3475 (I A)1 0.0722 1.1969 0.1737 0.1931
（间接联系）。完全消耗系数则是这种包括所有直接、
间接联系的全面反映。在国民经济各部门和各产品的生
产中，几乎都存在这种间接消耗和完全消耗的关系，而
充分理解各种间接消耗关系是充分理解宏观经济问题复
杂性的有力工具。例如，某些表面上看起来毫无联系的
部门或产品，实际上都有着比较重要的间接联系。如果
能将各部门间、产品间的间接消耗和完全消耗关系计算
模型（2·4）建立了总产品与最终产品之间的联系。 也就是说，已知各种产品的总产量，则通过（2·4）就 可计算出一定生产技术结构下，各种产品用于最终产品 的数量。
当然，我们还可以建立最终产品与总产品之间的联 系，即将（2·4）改写成：
Q (I A)1Y （2·5） 由此，若知各类产品的Y ，则根据（2·5）就能计算出 Q 。
2、能确切地反映各类产品生产过程中的技术联系， 使其不受价格变动和价格背离价值等因素的影响。
3、由于产品目录不能包罗万象，有些产品未列表中， 使中间产品不完整，为了弥补这一缺陷，需要在中间 产品的纵列上加上一个其他项。
四、实物型投入产出模型实例
依据表1中的行列关系，可建立实物型投入产出数学模型
2、完全消耗包括了直接消耗与所有的间接消耗， 所以完全消耗系数总是大于相应的直接消耗系数。
3、完全消耗系数可以大于1，而且价值表的直接消
a 耗系数 ij必定小于1。
（二）最终产品系数
一般把矩阵 (I A)1 中的元素 bij 称为最终产品系数或
追加需要系数。即最终产品系数为：
b11 b12 b1n
A3
a
3 11
2a11a12a21
a12a21a22
由此我们还可以类似地计算出 A4 , A5 , ，等，得到三次、
四次、……，等间接消耗系数的结果。所以，
我们最终得到完全消耗系数矩阵应为：
B A A2 A3 Ak
B I I A A2 A3 Ak 而（I A)(I A A2 Ak )
… xnn
耗
净 劳动报酬vi
产 值
纯收入 mi
总产值
v1
v2
m1 m2
X1 X2
… vn … mn
… Xn
最终产品 总产品
yi
Xi
y1
X1
y2
X2
yn
Xn
（1） 按行建立的价值模型
从行向建立价值模型的过程与实物模型是完全类
似的，它也是反映各部门产品生产和分配使用的情况，
y2
yn
因此，（2·2）又可写成
Y (I A)Q
（2·4）
其中，I 是单位矩阵，而(I A) 是一个特殊形式的矩阵，
其具体形式为：
1 a11
(I
A)
a21
an1
a12 1 a22
an2
a1n a2n
1 ann
此矩阵有明确的经济含义：
在矩阵 (I A) 中，从列来看，说明了每种
20
量X，并绘制简单实物型投入产出表。 4、试证明完全劳动消耗系数的计算公式为：
Bv Av (B I ) 或者 Bv Av (I A)1
式中，Bv 为完全劳动消耗系数行向量， Av 为直接劳动消耗系
数行向量。
3、价值形态投入产出模型
在价值投入产出表中，将国民经济分成若干部门，
是以货币为计量单位的，因而它比实物投入产出表包括
0.3475 1.1969 0.1931
0.5019 0.6178
10 15
y1 y2
1.3900 25 y3
从模型中可知，表中的“其他”项实际上与最终产品除在 同等地位上，这是由于“其他”项的元素不能计算直接 消耗系数，而被排除在A系统之外造成的。
计算实物型劳动报酬系数
avj qvj Qj ( j 1,2,3)
I Ak (k ) I
因此，我们得到
B I (I A)1 B (I A)1 I
（2·6）
这就是完全消耗系数的计算公式。
直接消耗系数与完全消耗系数的区别
1、直接消耗系数相对于总产出而言，说明中间消 耗与总产出之间的数量关系；完全消耗系数相对于 最终产品而言；说明中间消耗与最终产品之间的数 量关系。
a
2 11
a12 a 21
2、 农业产品对工业产品的一次间接消耗：
a11a21 a21a22
3、 工业产品对农业产品的一次间接消耗：
a12 a11 a22 a12
4、 工业产品对工业产品的一次间接消耗：
a12 a 21
a
2 22
根据上面的分析和结果，我们就可以找到某种规律，由 此得到这两个部门的一次间接消耗的系数矩阵为：
实物型接消耗系数的特点
a 1、 ij 可以大于等于1。
2、实物型直接消耗系数不能列项求和，但可以 行向求和。
3、主对角线上直接消耗系数一定小于1。
（3） 完全消耗系数与最终产品系数
（一）、完全消耗系数
一般来说，任何产品在生产过程中，除了各种直
接消耗关系外（直接联系），还有各种间接消耗关系
A2
a112 a12a21 a11a21 a21a22
a11a12 a12a22 a12a21 a222
再计算农业和工业的二次间接消耗： 1、工业产品对农业产品的二次间接消耗为：
a
3 1
1
a11a12 a 21
a12 a a 21 11
a12 a 22 a 21
… … …
其它二次间接消耗的计算省略。同样，我们仍可找到某 种规律性，并得到二次间接消耗系数矩阵为：
qij aijQ j
(i, j 1,2,, n)
n
aijQ j yi Qi
j 1
(i 1,2,, n)
（2·2）
上式如果写成矩阵形式则为：
AQ Y Q
（2·3）
其中
a11
A
a
21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
Q1
Q
Q2
Qn
y1
Y
Hale Waihona Puke 计算完全消耗系数矩阵B0.5019 0.6178 1.3900
0.3127 B (I A)1 I 0.0722 0.1737