2020届衡水中学高三期中考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1.复数321iz i i =+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i - D ．1i - 2.已知集合{}0,1A =，{},,B z z x y x A y A ==+∈∈，则B 的子集个数为（ ） A ．8 B ．3 C ．4 D ．73.已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-v v，且平面内的任一向量c v 都可以唯一的表示成c a b λμ=+v v v（,λμ为实数），则m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞U4.将函数()cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π5.已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．166.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π-7.如图，偶函数()f x 的图象如字母M ，奇函数()g x 的图象如字母N ，若方程(())0f g x =， (())0g f x =的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（ ）A ．12B ．18C ．16D ．14 8.函数2)(1-=-x ax f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=--ny mx 上，其中0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．223+9.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,3ABC AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5πB 2πC ．20πD ．4π 10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ） A ．3024 B ．1007 C ．2015 D ．201611.已知函数32()3f x x x x =-+的极大值为m ，极小值为n ，则 m+n=( )A.0B.2C.-4D.-212.某实验室至少需要某种化学药品10kg ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg ，价格为12元；另一种是每袋2kg ，价格为10元.但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（ ）元 A ．56 B ．42 C ．44 D ．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13.与直线310+-=x y 垂直的直线的倾斜角为 14.若函数(21)1()1a x f x x x++=++为奇函数，则a =________．15．已知22:12,:210,(0)p x q x x a a -≤-+-≥>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．16．如图，在三棱锥A BCD -中，2BC DC AB AD ====，2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17.(本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，030B ∠=，25AC =D 是边AB 上一点． （I ）求ABC ∆的面积的最大值；（Ⅱ）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．18．(本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，11()2n n n a a +⋅=，记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．（1）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （2）求2n T .19. (本小题满分12分）如图所示，在多面体EF ABC -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，O 为BC 的中点，//,3EF AO EA EC EF ===．（1）求证：AC BE ⊥； （2）若5,3BE EO ==B 到平面AFO 的距离．20．(本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为矩形，22=AB ，2=BC ，点P 在底面上的射影在AC 上，E ，F 分别是BC AB ,的中点.（I ）证明：⊥DE 平面PAC ；（II ）在PC 边上是否存在点M ，使得∥FM 平面PDE ？若存在，求出PCPM的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分） 设函数ax xxx f -=ln )(. （1）若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l :⎩⎨⎧+-=+=ty tx 21（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为,A B ．（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求||||PB PA +．23．已知函数()f x x =，()4g x x m =--+ （Ⅰ）解关于x 的不等式()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦；（Ⅱ）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围．高三期中考试文科数学参考答案1-5.BADAB 6-10.BADA B 11. D 12. C13.3π 14.-1 15.(0,2]17. （1）因为在ABC ∆中，030,B AC D ∠==是边AB 上一点，所以由余弦定理得：(22222AC 20AB BC 2AB BCcos ABC AB BC BC 2AB BC==+-⋅∠=+⋅≥⋅所以(202AB BC⋅≤=所以(ABC1S AB BCsinB522=⋅≤V所以ABC∆的面积的最大值为5(2+（2）设ACDθ∠=，在ACD∆中，因为2,CD ACD=∆的面积为4，ACD∠为锐角，所以ABC11S AC CDsin2sin422=⋅θ=⨯θ=V所以sinθθ==，由余弦定理，得，222AD AC CD2AC CD cos204816=+-⋅θ=+-=所以4AD=，由正弦定理，得sin sinAD CDAθ=，所以42sin sin Aθ=，所以sin A=，此时sin sinBC ACA B=，所以sin4sinAC ABCB==．所以BC的长为418.（1）Q11()2nn na a+⋅=，1121()2nn na a+++∴⋅=，212nnaa+∴=，即212n na a+= 2分221n n nb a a-=+Q，∴22112221221221111222n nn n nn n n n na ab a ab a a a a-+++--++===++所以{}nb是公比为12的等比数列. 5分11a=Q，1212a a⋅=，212a∴=11232b a a⇒=+=1313()222nn nb-∴=⨯= 6分（2）由（1）可知212n na a+=，所以135,,,a a a L是以11a=为首项，以12为公比的等比数列；246, , , a a a L 是以212a =为首项，以12为公比的等比数列 10分 21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++L L1111()[1()]322231121122n n n --=+=--- 12分 19.（1）取AC 的中点H ，连接,EH BH ，因为EA EC =，所以EH AC ⊥， 因为ABC ∆为等边三角形，所以,BA BC BH AC =⊥， 因为BH EH H =I ，所以AC ⊥平面BEH ， 因为BE ⊂平面BEH ，所以AC BE ⊥（2）因为在EAC ∆中，3,2EA EC AC ===，所以312EH =-=因为ABC ∆为等边三角形，所以3BH =因为5BE =222EH HB BE +=，所以EH HB ⊥，因为AC HB H =I ，所以EH ⊥平面ABC ，又因为343ABC S ∆==16323E BCA V -==， 因为EF//AO ，所以63F BCA E BCA V V --==,因为3EO =，四边形AOFE 为平行四边形，3EA EF ==所以1120,2AOFAOF S∆∠===设点B到平面AFO的距离为d，由12B AFO F BCAV V--==，得13d⨯=，解得3d=20. （I）在矩形ABCD中，:AB BC=，且E是AB的中点，∴tan∠ADE=tan∠CAB=,∴∠ADE=∠CAB,∵∠CAB+∠DAC90=o,∴∠ADE+∠DAC90=o,即AC⊥DE.由题可知面PAC⊥面ABCD，且交线为AC，∴DE⊥面PAC.（II）作DC的中点G，GC的中点H，连结GB、HF.∵DG∥EB，且DG=EB∴四边形EBGD为平行四边形，∴DE∥GB∵F是BC的中点，H是GC的中点，∴HF∥GB，∴HF∥DE.作H作HM∥PD交PC于M，连结FM，∵HF∥DE,HM∥PD，∴平面HMF∥平面PDE，∴FM∥平面PDE.由HM∥PD可知：∴3PM DHMC HC==21.（1）函数定义域为：{}1,0≠>xxx且，对函数)(xf求导：axxxf--='2ln1ln)(，若函数)(xf在),1(+∞上为减函数，则0ln1ln)(2≤--='axxxf在),1(+∞恒成立所以：0)(max≤'xf………2分由a x a xx x f -+--=--='41)21ln 1(ln 1ln )(22，故当21ln 1=x ，即2e x =时，041)(max≤-='a x f 所以： 41≥a ，所以a 的最小值是41………………5分（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，则问题等价为：当[]221,,e e x x ∈时，a x f x f +'≤)()(maxmin 由（1）知：)(x f '在[]2,e e x ∈的最大值为a -41，所以41)(max =+'a x f 所以问题转化为：41)(min ≤x f ………………7分 （ⅰ）当41≥a 时，由（1）知：)(x f 在[]2,e e 是减函数， 所以)(x f 的最小值是412)(222≤-=ae e e f ，解得：24121ea -≥ （ⅱ）当41<a 时，a x x f -+--='41)21ln 1()(2在[]2,e e 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a a 41,①当0≥-a ，即0≤a 时， )(x f 在[]2,e e 是增函数，于是：41)()(min >≥-==e ae e e f x f ，矛盾 ②当0<-a ，即410<<a 时，由)(x f '的单调性和值域知：存在唯一的[]20.e e x ∈，使得0)(0='x f且当()0,x e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；当()20,e x x ∈时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数所以：)(x f 的最小值为41ln )(0000≤-=ax x x x f ， 即：41412141ln 141ln 1200>-=->-≥e e e x x a ，矛盾 综上有：24121ea -≥第 11 页 共 11 页22．解：（1）直线l 的普通方程是：03=--y x ，曲线C 的普通方程是：x y 22=……4分（2）将直线l 的标准参数方程是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 222221（t 为参数）代入曲线x y 22=可得04262=+-t t ，所以26||||||||2121=+=+=+t t t t PB PA ………………10分23.（Ⅰ）()()6,22,6--U ；（Ⅱ）4m <． 解：（Ⅰ）由()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦得42x -<，242,26x x ∴-<-<∴<<， 故不等式的解集为()()6,22,6--U （5分）（Ⅱ）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方 ∴()()f x g x >恒成立，即4m x x <-+恒成立 ∵()444x x x x -+≥--=，∴m 的取值范围为4m <． （10分）。