第三节排列与组合1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.3．排列数、组合数的公式及性质[小题体验]1．将8种不同的菜种任选4种种植在不同土质的4块地里，不同的种植方法有()A ．24B ．1 680C ．70D ．840解析：选B 由题可得，不同的种植方法有A 48＝8×7×6×5＝1 680种．2．(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．解析：依题意得知，满足题意的选法共有C 14·C 13·C 12＝24种． 答案：243．(2019·舟山模拟)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．解析：依题意得，满足题意的组成方法有C 12A 34＝48个．答案：481．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．2．计算A m n 时易错算为n (n －1)(n －2)…(n －m )．3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．[小题纠偏]1．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为________．解析：由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)， ∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 即3x 2－17x ＋10＝0， 解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5. 答案：52．已知圆上有9个点，则任取三点构成一个三角形，这样的三角形的个数为________． 解析：由题可得，三角形的个数为C 39＝9×8×73×2×1＝84. 答案：84考点一 排列问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．[由题悟法]求解排列应用问题的6种主要方法[即时应用]1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．648C．328 D．360解析：选C首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A29＝9×8＝72(个)，当0排在十位时，有A14A18＝4×8＝32(个)．当不含0时，有A14·A28＝4×8×7＝224(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．2．(2019·湖州调研)A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有______种．(用数字作答)解析：先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A24－A22种坐法，则共有A33(A24－A22)＝60种坐法．答案：603．(2019·诸暨模拟)将9个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法有________种．解析：根据要求，小球的分类有1＋2＋6；1＋3＋5；2＋3＋4三类．所以满足要求的不同的放法有3A33＝18种．答案：18考点二组合问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120(种)方法．(2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．[由题悟法]1．解决组合应用题的2个步骤(1)整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；(2)局部分步用到分步乘法计数原理．2．解决含有附加条件的组合问题的2种方法通常用直接法或间接法，应注意对“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解．[即时应用]1．(2019·嘉善模拟)跨越台阶，可以一步跨越一级，也可以一步跨越两级，现有11级台阶，准备8步跨完，则不同的跨越方式有()A．165种B．120种C．56种D．28种解析：选C11级台阶，8步跨完，则其中有3步是跨越两级的，则不同的跨越方式有C38＝56种．故选C.2．(2019·南昌模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．30种B．36种C．60种D．72种解析：选A甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C24C24＝36(种)选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30(种)．3．平面内有10个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，则从中任取2点，可以构成的不同的直线的条数为________；从中任取3点，能够构成的不同的三角形的个数为________．解析：构成直线的情况是，第一类，从不共线的6点中任取2点，可以构成C26＝15条不同的直线；第二类，从共线的4点中任取一点，不共线的6点中任取一点，可以构成C16C14＝24条不同的直线；第三类，从共线的4点中任取2点，构成1条直线，所以满足条件的不同的直线有15＋24＋1＝40条．构成三角形的情况是，第一类，从不共线的6点中任取3点，可以构成C36＝20个不同的三角形；第二类，从不共线的6点中任取2点，共线的4点中任取1点，可以构成C26C14＝60个不同的三角形；第三类，从不共线的6点中任取1点，共线的4点中任取2点，可以构成C16C24＝36个不同的三角形．所以满足条件的三角形的个数为20＋60＋36＝116.答案：40116考点三排列、组合的综合应用(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．常见的命题角度有：(1)简单的排列与组合的综合问题；(2)分组、分配问题．[题点全练]角度一：简单的排列与组合的综合问题1．(2018·镇海适应性考试)甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有() A．18种B．12种C．36种D．24种解析：选D若A景点只有一个人，则不同的方案有C13C23A22＝18种；若A景点有2个人，则不同的方案有C23A22＝6种．所以不同的方案有18＋6＝24种．故选D.角度二：分组、分配问题2．(2019·广州五校联考)将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A．150种B．180种C．240种D．540种解析：选A先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有C35＋C15×C24·C222！＝25(种)，再将每组学生分到3所学校有A33＝6种分法，共有25×6＝150(种)不同的保送方法．[通法在握]1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．(3)由分类加法计数原理计算总数．2．分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题．①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)对于相同元素的“分配”问题，常采用的方法是“隔板法”．[演练冲关]1．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种解析：选C 由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C 24＝6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A 33＝6(种)情况，所以共有6×6＝36(种)不同的报名方法．2．(2019·浙江六校联考)在某商场的促销活动中，A ，B ，C ，D ，E 五名顾客随机抽取四个礼品，每人最多抽取一个，礼品中有两个相同的手机和两个相同的平板电脑，则A ，B 两人都抽到礼品的情况有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种解析：选B 若A ，B 抽到的礼品不同，则有A 22A 23种情况，若A ，B 抽到的礼品相同，则有C 12C 23种情况，又A 22A 23＋C 12C 23＝18，所以根据分类计数原理可得，A ，B 两人都抽到礼品共有18种情况．3．(2019·杭州高三质检)有红，黄，蓝三种颜色的小球(除颜色外均相同)各4个，都分别标有字母A ，B ，C ，D .任意取出4个，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有________种．解析：首先根据所取的颜色按1,1,2分为三组，分法有C 24C 12C 11A 22种，然后将所得三组分配到三类球中，不同的分配方法有A 33种，根据分步乘法计数原理，知满足条件的取法共有C 24C 12C 11A 22×A 33＝36(种)． 答案：36一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华十校联考)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )A ．50B ．80C ．120D ．140解析：选B 根据题意，分2种情况讨论：①甲组有2人，首先选2个放到甲组，有C 25＝10种，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，有C 23A 22＝6种，∴共有10×6＝60种分配方案，②当甲中有三个人时，有C 35A 22＝20种分配方案，∴共有60＋20＝80种分配方案．2．(2019·金丽衢十二校联考)用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的能被3整除的三位数的个数是()A．20 B．24C．36 D．48解析：选A若没有0，则满足条件的三位数有2A33＝12个；若有0，则满足条件的三位数有2C12A22＝8个．所以满足条件的三位数有20个．故选A.3．(2019·绍兴质检)将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个小球，放入编号为1,2，…，7的七个盒子中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有()A．98种B．196种C．252种D．336种解析：选D若有一个盒子放2个球，则不同的放法有C23A27＝3×42＝126种；若一个盒子只放1个球，则不同的放法有A37＝210种．所以不同的放法有126＋210＝336种．4．(2018·温州期末)某篮球队有12名球员，按位置区分，为3名中锋，4名后卫，5名前锋．某一场比赛进行中，教练员拟派出1名中锋，2名后卫和2名前锋的标准阵容．现已知中锋甲与后卫乙不能同上，则不同的选派方法种数有()A．180 B．150C．120 D．108解析：选B若不考虑限制情况，则不同的选派方法有C13C24C25＝180种，其中中锋甲与后卫乙同上的选派方法有C13C25＝30种，所以满足条件的不同选派方法有180－30＝150种．故选B.5．(2018·北京西城区模拟)大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答) 解析：元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有C23＝3种，在将“2”个元素安排坐四部电梯有A24＝12种，则不同的乘坐方式有3×12＝36种．答案：36二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·舟山模拟)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是()A．40 B．60C．80 D．100解析：选A三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是2C36＝40种．2．(2018·绿色联盟适应性考试)若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是( )A ．120B ．150C ．240D ．300解析：选B 第一类，书的数量为1＋1＋3，则不同的分法有C 35A 33＝60种；第二类，书的数量为1＋2＋2，则不同的分法有C 25C 23A 22·A 33＝90种．所以不同的分法有60＋90＝150种． 3．(2019·衢州期末)小明有3双颜色相近的袜子(不分左右脚)．某天早晨，由于贪睡造成晚起．为了防止上学迟到，小明随手从这3双颜色相近的袜子中抓起两只袜子套在脚上，拔腿就走．则小明穿的不是同一双袜子的可能性有几种( )A ．22B ．24C ．28D ．30解析：选B 根据条件，先从三双袜子中任选一双，选一只，有C 13C 12＝6种不同的选法；再从剩余的2双袜子中任选一只，有C 14＝4种不同的选法．由分步乘法计数原理可知，N ＝6×4＝24种．故选B.4．(2018·杭高3月模拟)某学校高三年级共有两个实验班，四个普通班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且实验班学生不检查实验班，则不同安排方法的种数是( )A ．360B ．288C ．168D ．144解析：选B 由题可得，第一步，实验班的同学检查普通班，有A 24＝12种；第二步，普通班的同学检查剩余的班，有A 44＝24种，所以不同的安排方法的种数是12×24＝288种． 5．(2019·三明调研)将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种解析：选C (排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为A 55，由于要求A ，B ，C的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A )，故除以这三个元素的全排列A 33，可得这样的排列数有A 55A 33×2＝40(种)． 6．现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有________种不同的方法．(用数字作答)．解析：第一步，从9个位置中选出2个位置，分给相同的红球，有C 29种选法；第二步，从剩余的7个位置中选出3个位置，分给相同的黄球，有C 37种选法；第三步，剩下的4个位置全部分给4个白球，有1种选法．根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有C 29C 37＝1260(种)．答案：1 2607．(2019·浙江高三模拟)7名同学准备报名两门选修课，每名同学只能报一门，若每门选修课至少要有2名同学报名，则不同的报名方式的种数为________．解析：7名同学准备报名两门选修课，每名同学只能报一门，每门选修课至少要有2名同学报名，其方式有2,5和3,4两种组合，①一门选修课2人报名，另一门5人报名，有C27A22种方式；②一门选修课3人报名，另一门4人报名，有C37A22种方式．因此，共有C27A22＋C37A22＝112种报名方式．答案：1128．(2019·黄冈质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．解析：不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.答案：609．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4(种)情况，再对应到4个人，有A44＝24(种)情况，则共有4×24＝96(种)情况．答案：9610．(1)已知C n－1n＋1＝A2n－1＋1，求n；(2)若C m－18＞3C m8，求m.解：(1)由C n－1n＋1＝A2n－1＋1得(n＋1)n2＝(n－1)(n－2)＋1.即n2－7n＋6＝0.解得n＝1，或n＝6.由A2n－1知，n≥3，故n＝6.(2)原不等式可化为8！(m－1)！(9－m)！＞3×8！m！(8－m)！，解得m＞27 4.∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，∴1≤m≤8.又m 是整数，∴m ＝7或m ＝8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．甲、乙等5人在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种解析：选B 甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有A 44A 22种排法，甲、乙相邻且在两端有C 12A 33A 22种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有A 44A 22－C 12A 33A 22＝24(种)．2．(2019·浙江名校协作体联考)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有________种，学生甲被单独安排去金华的概率是________．解析：先将甲、乙、丙、丁、戊5名大学生分为三组，每组至少有1名大学生，有两种情况：第一种情况是，各组人数分别是3,1,1，共有C 35＝10种分法；第二种情况是，各组人数分别是1,2,2，共有C 15C 24A 22＝15种分法．由以上两种情况得甲、乙、丙、丁、戊5名大学生分为三组且每组至少有1名大学生共有25种分法，再将这三组大学生分到三个城市，每个城市一组，共有25A 33＝150种安排方式；其中学生甲被单独安排去金华有⎝⎛⎭⎫C 14＋C 24A 22A 22＝14种，所以学生甲被单独安排去金华的概率是14150＝775. 答案：150 7753．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C 34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C 45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况．所以符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100 800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C 34C 45A 33A 55＝14 400(个)．(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34C 45A 33A 44A 22＝5760(个)．。