题组训练88 专题研究 排列组合的综合应用1．下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ＞0)都是实数)( ) A ．f(x)＝12πσe （x －μ）22σ2B ．f(x)＝2π2πe －x22C ．f(x)＝12 2πe －x －σ4D ．f(x)＝－12πe x 22答案 B解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C 中的函数无对称轴，D 中的函数图像在x 轴下方，所以选B.2．(2018·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p ，即P(－2<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C.12－p D ．1－2p答案 C解析 由对称性知P(ξ≤－2)＝p ，所以P(－2<ξ<0)＝1－2p 2＝12－p.3．(2017·广东佛山一模)已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，则P(ξ>4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5答案 B解析 由正态曲线性质知，其图像关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝1－P （2≤ξ≤4）2＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7，故选B.4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.954 B ．0.977 C ．0.488 D ．0.477答案 A解析 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.5．(2017·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg 属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )A ．683B ．841C ．341D ．667答案 A解析 ∵P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，∴体重正常的人数约为 1 000×0.683＝683人．6．(2018·江西八所重点中学联考)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2答案 B解析 ∵ξ服从正态分布N(100，σ2)，∴曲线的对称轴是直线μ＝100，∵ξ在(80，120)内取值的概率为0.8，ξ在(0，100)内取值的概率为0.5， ∴ξ在(0，80)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.故选B.7．(2017·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A ．0.3% B ．0.23% C ．1.5% D ．0.15%答案 D解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92，140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.8．(2018·云南大理统测)2016年1月某高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N(100，σ2)(试卷满分150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( ) A ．80 B ．100 C ．120 D ．200答案 D解析 正态曲线的对称轴为X ＝100，根据其对称性可知，成绩不低于120分的学生人数约为1 600×(1－34)×12＝200.9．如果随机变量X ～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，则P(0<X<1)等于( ) A ．0.210 B ．0.003 C ．0.681 D ．0.021 5答案 D解析 X ～N(3，12)，因为0<X<1，所以P(0<X<1)＝0.997 4－0.954 42＝0.021 5.10．(2017·皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A ．1 500 B ．1 700 C ．4 500 D ．8 000答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N(98，100)，所以P(X≥108)＝12[1－P(88<X<108)]＝12[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.158 7×9 450≈1 500名，故选A.11.如图所示，随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________． 答案 0.7解析 由题意可知，正态分布的图像关于直线x ＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P (0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P (ξ<2)＝0.7.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图像，可以看出，图像关于直线x ＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)． 13．(2017·河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg 的概率为________．(精确到0.000 1) 注：P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ<x ≤μ＋3σ)＝0.997 4 答案 0.022 8解析 因为袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.12)，所以P(ξ<9.8)＝12[1－P(9.8<ξ<10.2)]＝12[1－P(10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1)]＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.14．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝12πe －（x －1）22(x∈R )的图像，若⎠⎛01f （x ）dx ＝13，则P(X<0)＝________． 答案 16解析 因为正态分布密度曲线为函数f(x)＝12πe －（x －1）22(x∈R )的图像，所以总体的期望μ＝1，标准差σ＝1，故函数f(x)的图像关于直线x ＝1对称．又⎠⎛01f(x)dx ＝13＝P(0<X<1)，所以P(X<0)＝12－P(0<X<1)＝16.15．(2018·江西南昌一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P (X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 答案 (1)0.024 (2)E(ξ)＝1.2解析 (1)由题知，P (80≤X<85)＝12－P(X<75)＝0.2，P (85≤X<95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85) ＝1－2P(X<75)＝0.4， 所以ξ服从二项分布B(3，0.4)， P (ξ＝0)＝0.63＝0.216， P (ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288， P (ξ＝3)＝0.43＝0.064. 所以随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E(ξ)＝3×0.4＝16．(2018·广东三校联考)某市在2017年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120，25)．现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4. 答案 (1)112 (2)E(X)＝1.2解析 (1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112. (2)由于1310 000＝0.001 3，根据正态分布得P(120－3×5<X<120＋3×5)＝0.997 4.故P(X ≥135)＝1－0.997 42＝0.001 3，即0.001 3×10 000＝13.所以前13名的成绩全部在135分以上．根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10. 所以X 的取值为0，1，2，3.所以P(X ＝0)＝C 63C 103＝16，P(X ＝1)＝C 62C 41C 103＝12，P(X ＝2)＝C 61C 42C 103＝310，P(X ＝3)＝C 43C 103＝130.所以X 的分布列为x 0 1 2 3 P1612310130E(X)＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝1.2.17．(2014·课标全国Ⅰ，理)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)． 附：150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4. 答案 (1)x －＝200，s 2＝150 (2)①0.682 6 ②68.26解析 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N(200，150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.1．设随机变量X ～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(|x －μ|<3σ)将会( ) A ．单调增加 B ．单调减少 C ．保持不变 D ．增减不定答案 C解析 P(|x －μ|<3σ)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4是一个常数．2．(2018·湖北襄阳四中周考)已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，P(0<X<4)＝0.8，则P(X>4)＝( ) A ．0.4 B ．0.2 C ．0.1 D ．0.05答案 C解析 由于直线x ＝2是正态分布密度曲线的对称轴，因此P(X<0)＝P(X>4)＝12(1－0.8)＝0.1，故选C.3．某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X 服从正态分布N(75，121)(单位：分)，考生共有1 000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为(参考数据P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4)( ) A ．261 B ．341 C ．477 D ．683答案 B解析 ∵X～N(75，121)，∴μ＝75，σ＝11， 因为P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6， 所以P(64<X<86)＝0.682 6，又μ＝75，所以P(75<X<86)＝12P(64<X<86)＝12×0.682 6＝0.341 3，所以0.341 3×1 000≈341.即数学成绩在75分到86分之间的人数约为341，故选B.4．(2015·山东，理)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74%答案 B解析 由已知μ＝0，σ＝3.所以P(3<ξ<6)＝12[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B.5．把一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C 2，下列说法不正确的是( ) A ．曲线C 2仍是正态曲线B ．曲线C 1，C 2的最高点的纵坐标相等C ．以曲线C 2为正态曲线的总体的方差比以曲线C 1为正态曲线的总体的方差大2D ．以曲线C 2为正态曲线的总体的期望比以曲线C 1为正态曲线的总体的期望大2 答案 C解析 正态密度函数为f(x)＝12πσe －（x －μ）22σ2，正态曲线的对称轴x ＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝12πσ.所以曲线C 1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以期望值μ增大了2个单位长度．选项C 是错误的．6．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图像，且f(x)＝18πe －（x －10）28(x∈R )，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10答案 B解析 f(x)＝18πe －（x －10）28，所以σ＝2，μ＝10，即正态总的平均数与标准差分别为10与2.7．吉林大学的某系的大一(2)班共有55人，其中男生22人，女生33人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，女生抽取a 人．若随机变量ξ服从正态分布N(a ，σ2)，且P(ξ<2)＝0.3，则P(3<ξ<4)的值为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.6答案 A解析 用分层抽样，女生应抽取人数为33×555＝3，所以a ＝3.所以ξ服从正态分布N(3，σ2)，该正态曲线关于直线x ＝3对称． 即P(ξ<2)＝0.3，所以P(ξ>4)＝0.3.方法一：所以P(3<ξ<4)＝12P (2<ξ<4)＝12(1－2×0.3)＝0.2.故选A.方法二：所以P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ>4)＝0.5－0.3＝0.2.故选A.8．(2018·云南高三统考)某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，σ2)．若分数在(70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________． 答案 150解析 记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P(70<ξ≤110)＝0.7，所以P(ξ≤70)＝P(ξ>110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150.9．(2017·沧州七校联考)2015年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆． 答案 180思路 首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量．解析 由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35.而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆． 10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2π.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4，4]内的概率．答案(1)φμ，σ(x)＝14 2πe－x232，x∈(－∞，＋∞)(2)0.682 6解析(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝14 2πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4＜ξ≤4)＝P(0－4＜ξ≤0＋4)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6.11．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝18 2π.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？答案(1)φμ，σ(x)＝182πe－（x－80）2128(2)68.26%解析(1)由于正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此得μ＝80，12π·σ＝182π，所以σ＝8.故密度函数解析式是φμ，σ(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件尺寸ξ位于区间(72，88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.12．某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．(1)经统计，消费额X服从正态分布N(150，625)，某天有1 000位顾客，请估计消费额X(单位：元)在区间(100，150]内并中奖的人数；(2)某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；(3)某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4.答案 (1)286 (2)略(3)这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．解析 (1)依题意得μ＝150，σ2＝625，得σ＝25，100＝μ－2σ，消费额X 在区间(100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约为1000×P(μ－2σ<X≤μ)＝1 000×0.954 42≈477，其中中奖的人数约为477×0.6≈286. (2)三位顾客每人一次A 箱内摸奖机会，且中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布B(3，35)， P(ξ＝k)＝C 3k (35)k ·(25)3－k ，k ＝0，1，2，3， ∴ξ的分布列为 ξ0 1 2 3 P 8125 36125 54125 27125 (3)A B 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5＋20×0.5＝35.方法一所得奖金的期望值为3×10.5＝31.5，方法二所得奖金的期望值为35，∴这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．13．(2018·湖北武汉模拟)已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1 000，σ2)，且P(X<800)＝0.2，P(X ≥1 300)＝0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1 200，1 300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品的使用寿命在[800，1 200)的件数为Y ，求Y 的分布列和数学期望E(Y)．答案 (1)0.18 (2)E(Y)＝1.8解析 (1)因为X ～N(1 000，σ2)，P(X<800)＝0.2，P (X≥1 300)＝0.02，所以P(1 200≤X<1 300)＋P(X≥1 300)＝P(X≥1 200)＝P(X<800)＝0.2.所以P(1 200≤X<1 300)＝0.2－0.02＝0.18.故抽取的产品的使用寿命在[1 200，1 300)的概率为0.18.(2)因为P(800≤X<1 200)＝1－2P(X<800)＝1－2×0.2＝0.6，所以Y ～B(3，0.6)．P(Y ＝0)＝C 30×0.60×(1－0.6)3＝0.064，P(Y＝1)＝C31×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(Y＝2)＝C32×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(Y＝3)＝C33×0.63×(1－0.6)0＝0.216.所以Y的分布列为Y 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216 所以E(Y)＝3×0.6＝。