………… 11
所以 P(A) 12 4 15 5
………… 12 分
20. （1）
f（ x）= 1 x
4 (x 1)2
(x 1)2 x(x 1)2
0 ………………………………………………………3 分
（f x）在 (0, ) 上单调递增 ……………………………………………………….5 分
（2）不妨设 m n
44
48
50
54
（1） 根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分 y 与该学生课下钻研数学时间 x 的线性回
归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为 7 小时其数学考试中的解答题得分；
（2） 从这 6 人中任选 2 人，求这 2 人中至少有1人课下钻研数学时间不低于 8 小时的概率.
n
n
xi x yi y
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
1
2t 2 （ t 为参数），以原
y 2t 2
点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 = 4 cos ，
直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点．
（1） 写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
5π
x
12 2
11．
已知数列an ， an
n2
sin
n 2
，则数列an 的前
100
项和为
A． 5000
B． 5000
C
．
5050
D． 5050
12． 已知 ABC 中，长为 2 的线段 AQ 为 BC 边上的高，满足： AB sin B AC sin C AQ ，
且 AH
1
AC
，则
BH
2
A． 4 7 7
（2）
若 P(1, 0) ，求
1 AP
1 BP
的值．
23． 选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) x a x 1 和函数 g x 2x 1.
（1） 当 a 2 时，求关于 x 的不等式 f (x) 1的解集； （2） 若对任意 x1 R ，都存在 x2 R ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
16 7
i 1
i 1
$a y $b x 28 yˆ 16 x 28
7 当 x 7 时， yˆ 44
………… 1 分 ………… 4 分
…………5 分 …………6 分
（2）设“这 2 人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于 8 小时为事件 A” ………7 分
所有基本事件如下： （2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（4，6），（4，8），（4，10），
又 m n ， ln m ln n 2 ， mn mn
…………………………………12 分
21．（1）依题意： b 1, a 2
…………….2 分
所以椭圆方程为 x2 y2 1. 2
（2）由题意直线 AB 斜率不为 0，设直线 AB ： x ny 2
………………..4 分
x ny 2
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左右焦点， P
为
y
轴上一点， Q
为左支上一点，若
(OP
OF2 )PF2
0
且
PF2Q
周长最
小值为实轴长的 3 倍，则双曲线 C 的离心率为
a a a 2
b 2b
a b?
是
输出 n
结束
n n1
否
A． 2
B． 3
C． 2
D． 2 2
y
2
11π
12
O
的概率为
A． 1 3
B． 3 6
C． 1 4
D． 1 2
7．有一散点图如图所示，在 5 个 (x, y) 数据中去掉 D(3,10) 后，下列说法正确的是
y
• E(10,12)
A．残差平方和变小
• D(3,10)
B．相关系数 r 变小 C．相关指数 R2 变小 D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱
D． 2 7
B． 4 7
C． 4 3 3
二、 填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．
若 sin
4
2 5
，则
sin 2
．
14． 已知 a R ，命题“存在 x R ，使 x2 ax 3a 0 ”为假命题，则 a 的取值范围
为
．
15． 直线 l 过抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F ，交抛物线 C 于点 A （点 A 在 x 轴上方），
2
7
……….3 分
代入点
5 12
,
2
，得
f
x
2
sin
2x
3
………6 分
（2） 由题意知 2 2x 7
3
36
………8 分
cos
2x
cos
2x
3
3
33 6
2
18. （1）因为 PA 底面 ABC ， BE 底面 ABC 所以 PA BE ，
又因为 BE AC ， PAI AC A
2020 年高三学年模拟考试
数学试卷（文史类）
本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
B． 3 5
C． 5
5． 函数 f (x) xex 在 x 1 处的切线方程是
A． 2ex y e 0
B． 2ex y 3e 0
C． 2ex y e 0
D． 2ex y 3e 0
6． 在区间 2 3, 2 3 上随机取一个数 k ，则直线 y kx 4 与圆 x2 y2 4 有两个不同公共点
2020 年高三学年模拟考试
数学试卷（文史类）参考答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
CBDBADAAACBD
二、填空题：
13. 17 ； 25
14. 12, 0 ；
三、解答题：
17. （1）由图像可知 A 2, 2
15. 3 ；
16. 10 ， 4 2 .
•A•(B1,(32•),4C)(4,5)
O
x
8． “克拉茨猜想” 又称“ 3n 1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家 大会上公布的一个猜想：任给一个正整数 n ，如果 n 是偶数，就将它减半；如果 n 为奇
数就将它乘 3 加 1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到 1，得到 1
径为
．
三、 解答题: 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
(一) 必考题：共 60 分．
17．
函数
f
x
Asin x
A
0，
0，
π 2
π 2
的部分图象如图所示．
（1） 求函数 f (x) 的解析式；
（1） 求证：函数 （f x）在 (0, ) 上单调递增；
（2） 若 m, n 为两个不等的正数，求证 ln mln n
2 ．
mn mn
21．
已知椭圆
C
:
x2 a2
+
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
2 ，且以原点为圆心，以短轴长为直径 2
的
圆 C1 过点 1, 0 ．
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
x2 2
y2
得 (2 1
n2 ) y2
4ny
2
0. 由
8n2
16
0得
n2 2 ，
设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，
由韦达定理
y1
y2
4n 2 n2
,
y1 y2
2
2 n2
.
……………6 分
因为
OA
OB
tOG
，所以
G(
t
(2
8
n2
)
,
t
4n (2 n2
)
)
因为
（2） 若 f (x) 2 6 3
，且
x
3
，求 cos 2x
．
2
4
P
18． 如图，三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， PA 2 ， PA 底面
ABC ，点 E, F 分别为 AC ， PC 的中点．
G
F
（1） 求证：平面 BEF 平面 PAC ；
（2） 在线段 PB 上是否存在点 G ，使得三棱锥 B AEG 体积为 3 ？ A
过点 A 作直线 x p 的垂线，垂足为 M ，若垂足 M 恰好在线段 AF 的垂直平分线上， 2
则直线 l 的斜率为
．
16． 在三棱锥 S ABC 中， AB 2, BC 2, AC 2 2, SB 2 ， SB 面 ABC ，则三棱