二元一次方程解法大全　1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程： (1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0 (3)6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0（选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得 x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=,x2=-是原方程的解。

(4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2)=0 ∴x1=2,x2=2是原方程的解。

小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。

但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。

（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

二元一次方程练习题一、判断 1、是方程组的解…………（） 2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（） 4、方程组，可以转化为（） 5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程，则a的值为±1（） 6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2…………（） 7、方程组有唯一的解，那么m的值为m≠-5…………（） 8、方程组有无数多个解…………（） 9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组…………（） 10、方程组的解是方程x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解………（） 11、若|a+5|=5，a+b=1则………（） 12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则（） 二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（） （A）一个解；（B）两个解； （C）三个解；（D）无数多个解； 14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（） （A）5个（B）6个（C）7个（D）8个 15、如果的解都是正数，那么a的取值范围是（） （A）a<2；（B）；（C）；（D）； 16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（） （A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2； 17、在下列方程中，只有一个解的是（） （A）（B） （C）（D） 18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（） （A）15x-3y=6（B）4x-y=7（C）10x+2y=4（D）20x-4y=3 19、下列方程组中，是二元一次方程组的是（） （A）（B） （C）（D） 20、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（） （A）a=-3,b=-14（B）a=3,b=-7 （C）a=-1,b=9（D）a=-3,b=14 21、若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（） （A）（B）（C）1（D）-1 22、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（） （A）无解（B）有唯一一个解 （C）有无数多个解（D）不能确定 23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（） （A）14（B）-4（C）-12（D）12 24、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（） （A），b=-4（B），b=4 （C），b=4（D），b=-4 三、填空： 25、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______ 若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________； 26、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________； 27、如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y的代数式表示的代数式是_____________； 28、若是方程组的解，则； 29、方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________； 30、如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________； 31、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______； 32、若方程x-2y+3z=0，且当x=1时，y=2，则z=______； 33、若4x+3y+5=0，则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_________； 34、若x+y=a，x-y=1同时成立，且x、y都是正整数，则a的值为________； 35、从方程组中可以知道，x:z=_______；y:z=________； 36、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________； 四、解方程组 37、；38、； 39、；40、； 41、；42、； 43、；44、； 45、；46、； 五、解答题： 47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得；乙看错了方程②中的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解； 48、使x+4y=|a|成立的x、y的值，满足(2x+y-1)2+|3y-x|=0，又|a|+a=0，求a的值； 49、代数式ax2+bx+c中，当x=1时的值是0，在x=2时的值是3，在x=3时的值是28，试求出这个代数式； 50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a的值。

2x+3y=6-6a，3x+7y=6-15a，4x+4y=9a+9 51、当a、b满足什么条件时，方程(2b2-18)x=3与方程组都无解； 52、a、b、c取什么数值时，x3-ax2+bx+c程(x-1)(x-2)(x-3)恒等？ 53、m取什么整数值时，方程组的解： （1）是正数； （2）是正整数？并求它的所有正整数解。

54、试求方程组的解。

六、列方程（组）解应用题 55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？ 56、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？ 57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？ 58、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。

59、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走110米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、B两地之间的距离。

60、有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。

【参考答案】 一、1、√；2、√；3、×；4、×；5、×；6、×； 7、√；8、√；9、×；10、×；11、×；12、×； 二、13、D；14、B；15、C；16、A；17、C；18、A； 19、C；20、A；21、A；22、B；23、B；24、A； 三、25、，8，；26、2；27、；28、a=3，b=1； 29、30、；31、3，-432、1；33、20； 34、a为大于或等于3的奇数；35、4:3，7:936、0； 四、37、；38、；39、；40、； 41、；42、；43、；44、； 45、；46、； 五、47、，；48、a=-149、11x2-30x+19； 50、；51、，b=±352、a=6,b=11,c=-6； 53、（1）m是大于-4的整数，（2）m=-3，-2，0，，，； 54、或； 六、55、A、B距离为450千米，原计划行驶9.5小时； 56、设女生x人，男生y人， 57、设甲速x米/秒，乙速y米/秒 58、甲的容量为63升，乙水桶的容量为84升； 59、A、B两地之间的距离为52875米； 60、所求的两位数为52和62。