微积分基本公式下面我们先从实际问题中寻找解决问题的线索．为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数)(t s 及速度函数)(t v 之间的联系作进一步的研究．一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系有一物体在一直线上运动．在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成为一数轴．设时刻t 时物体所在位置为)(t s ，速度为)(t v ．(为了讨论方便起见，可以设0)(≥t v ．)从第一节知道：物体在时间间隔[]21 ,T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在[]21 ,T T 上的定积分⎰21d )(T T tt v 来表达；另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(t s 在区间[]21 ,T T 上增量)()(12T s T s -来表达．由此可见，位置函数)(t s 与速度函数)(t v 之间有如下关系：)()(d )(1221T s T s t t v T T -=⎰． (1)因为)()(t v t s ='，即位置函数)(t s 是速度函数)(t v 的原函数，所以关系式 (1) 表示，速度函数)(t v 在区间[]21 ,T T 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t s 在区间[]21 ,T T 上的增量：)()(12T s T s -．上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出的关系，在一定条件下具有普遍性．事实上，我们将在第三目中证明，如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，那么，)(x f 在区间] ,[b a 上的定积分就等于)(x f 的原函数(设为)(x F )在区间] ,[b a 上的增量：)()(a F b F -．二、积分上限的函数及其导数设函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，并且设x 为] ,[b a 上的一点．现在我们来考察)(x f 在部分区间] ,[x a 上的定积分⎰xaxx f d )(．首先，由于)(x f 在区间] ,[x a 上仍旧连续，因此这个定积分存在．这时，x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用t 表示，则上面的定积分可以写成⎰xatt f d )(如果上限x 在区间] ,[b a 上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它在] ,[b a 上定义了一个函数，记作)(x Φ：).( d )()(b x a t t f x xa≤≤=⎰Φ这个函数)(x Φ具有下面定理1所指出的重要性质．定理1 如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，则积分上限的函数⎰=xatt f x d )()(Φ在] ,[b a 上可导，并且它的导数是).( )(d )(d d )(b x a x f t t f x x xa ≤≤=='⎰Φ (2)证 若) , (b a x ∈，设x 获得增量x ∆，其绝对值足够地小，使得) , (b a x x ∈+∆，则)(x Φ在x x ∆+处的函数值为⎰+=+xx att f x x ∆∆Φd )()(．由此得函数的增量⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=-+=-=-+=xx xx ax x xxa xaxx att f tt f t t f t t f tt f t t f x x x ∆∆∆Φ∆Φ∆Φd )(d )(d )(d )(d )(d )()()(再应用积分中值定理，即有等式x f ∆ξ∆Φ)(=．这里，ξ在x 与x x ∆+之间．把上式两端各除以x ∆，得函数增量与自变量增量的比值).(ξ∆∆Φf x =由于假设)(x f 在] ,[b a 上连续，而0→x ∆时，x →ξ，因此)()(lim 0x f f x =→ξ∆．于是令0→x ∆，对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于)(x f ．这就是说，函数)(x Φ的导数存在，并且)()(x f x ='Φ．若a x =，取0>x ∆，则同理可证)()(a f a ='+Φ；若b x =，取0<x ∆，则同理可证)()(b f b ='-Φ．证毕．这个定理指出了一个重要结论：连续函数)(x f 取变上限x 的定积分然后求导，其结果还原为函数)(x f 本身．联想到原函数的定义，就可以从定理1推知)(x Φ是连续函数)(x f 的一个原函数．因此，我们引出如下的原函数的存在定理．定理2 如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，则函数⎰=xatt f x d )()(Φ (3)就是)(x f 在] ,[b a 上的一个连续原函数．这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系．因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分．三、牛顿－莱布尼兹公式现在我们根据定理2来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式． 定理3 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间] ,[b a 上的一个原函数，则)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰． (4)证 已知函数)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，又根据定理2知道，积分上限函数⎰=xatt f x d )()(Φ也是)(x f 的一个原函数．于是这两个原函数之差)()(x x F Φ-在] ,[b a 上必定是某个常数C ，即)( )()(b x a C x x F ≤≤=-Φ． (5)在上式中令a x =，得C a a F =-)()(Φ．又由)(x Φ的定义式(3)及上节积分的补充规定(1)可知0)(=a Φ，因此，)(a F C =．以)(a F 代入(5)式中的C ，以⎰xatt f d )(代入(5)式中的)(x Φ，可得)()(d )(a F x F t t f xa-=⎰．在上式中令b x =，就得到所要证明的公式(4)．由上节定积分的补充规定(2)可知，(4)式对b a >的情形同样成立． 为了方便起见，以后把)()(a F b F -记成ba x F )]([．公式(4)叫做牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibniz)公式．这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系．它表明：一个连续函数在区间] ,[b a 上的定积分等于它的任一原函数在区间] ,[b a 上的增量．这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续．通常也把公式(4)叫做微积分基本公式．下面我们举几个应用公式(4)来计算定积分的简单例子．例1 计算第一节中的定积分⎰12d xx．解 由于33x 是2x 的一个原函数，所以按牛顿－莱布尼兹公式，有3103130313d 3310312=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰x x x ． 例2 计算⎰-+312d 11x x ．解 由于x arctan 是211x +的一个原函数，所以[]πππ12743)1arctan(3arctan arctan d 1131312=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==+--⎰x x x． 例3 计算⎰--12d x x．解 当0<x 时，x 1的一个原函数是x ln ，所以[]2ln 2ln 1ln ln d 1212-=-==----⎰x x x ．通过例3，我们应该特别注意：公式(4)中的函数)(x F 必须是)(x f 在该积分区间] , [b a 上的原函数．例4 计算正弦曲线x y sin =在] , 0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积． 解 这图形是曲边梯形的一个特例，它的面积[]2)1()1(cos d sin 00=----=-==⎰ππx x x A ．例5 汽车以每小时36km 速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车以等加速度2/5s m a -=刹车．问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？解 首先要算出从开始刹车到停车经过的时间．设开始刹车时刻为0=t ，此时汽车速度m/s 10km/h 360==v ．刹车后汽车减速行驶，其速度为 t at v t v 510)(0-=+=． 当汽车停住时，速度0)(=t v ，故从0510)(=-=t t v 解得)s ( 2=t ． 于是在这段时间内，汽车所驶过的距离为(m)102510d )510(d )(2022020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=-==⎰⎰t t t t t t v s ，即在刹车后，汽车需驶过10m 才能停住．例6 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续，证明在开区间) , (b a 内至少存在一点ξ，使).( ))((d )(b a a b f x x f ba<<-=⎰ξξ证 因)(x f 连续，故它的原函数存在，设为)(x F ，即设在] , [b a 上)()(x f x F ='．根据牛顿－莱布尼兹公式，有)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰．显然函数)(x F 在区间] , [b a 上满足微分中值定理的条件，因此按微分中值定理，在开区间) , (b a 内至少存在一点ξ，使) , ( ))(()()(b a a b F a F b F ∈-'=-ξξ，故), ( ))((d )(b a a b f x x f ba∈-=⎰ξξ．本例的结论是上一节所述积分中值定理的改进．从本例的证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系．下面再举几个应用公式(2)的例子．例7 设)(x f 在) , 0[∞+内连续且0)(>x f ．证明函数⎰⎰=x xt t f t t tf x F 00d )(d )()(在) , 0(∞+内为单调增加函数．证 由公式(2)，得)(d )(d d 0x xf t t tf x x =⎰， )(d )(d d 0x f t t f x x=⎰．故200200d )(d )()()(d )(d )()(d )()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎰⎰⎰⎰⎰xxx xxt t f tt f t x x f t t f tt tf x f t t f x xf x F按假设，当x t <<0时0)(>t f ，0)()(>-t f t x ，可知d )(0>⎰xt t f ，d )()(0>-⎰xt t f t x ，所以)0( 0)(>>'x x F ，从而)(x F 在) , 0(∞+内为单调增加函数．例8 求21cos 0d e lim2x t xt x ⎰-→．解 易知这是一个00型的未定式，我们利用洛必达法则来计算． 分子可写成⎰--xt tcos 1d e 2，它是以x cos 为上限的积分，作为x 的函数可看成是以x u cos =为中间变量的复合函数，故由公式(2)有().e sin )sin (e cos d e d d d e d d d e d d 22222cos cos cos 1cos 11cos x x x u u -t x -t x -t x x x t u t x t x --==-⋅-='⋅-=-=⎰⎰⎰因此e 212e sin lim d e lim22cos021cos 0==-→-→⎰xx x t xx xt x ．。