课程设计任务书院部名称机电工程学院专业自动化班级 M11自动化指导教师陈丽换金陵科技学院教务处制摘要MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。

其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。

函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。

在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C++ 。

在计算要求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。

MATLAB的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。

函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。

此次课程设计就是利用MATLAB对一单位反馈系统进行滞后-超前校正。

通过运用MATLAB的相关功能，绘制系统校正前后的伯德图、根轨迹和阶跃响应曲线，，能够利用不同的分析法对给定系统进行性能分析，能根据不同的系统性能指标要求进行合理的系统设计，并调试满足系统的指标。

学会使用MATLAB语言及Simulink动态仿真工具进行系统仿真与调试。

关键字：超前-滞后校正 MATLAB 仿真1．课程设计应达到的目的1. 掌握自动控制原理的时域分析法，根轨迹法，频域分析法，以及各种补偿（校正）装置的作用及用法，能够利用不同的分析法对给定系统进行性能分析，能根据不同的系统性能指标要求进行合理的系统设计，并调试满足系统的指标。

2. 学会使用MATLAB 语言及Simulink 动态仿真工具进行系统仿真与调试。

2．课程设计题目及要求 题目：已知单位负反馈系统的开环传递函数，试用频率法设计串联滞后——超前校正装置，使之满足在单位斜坡作用下，系统的速度误差系数1vK 10s -=，系统的相角裕量045γ≥，校正后的剪切频率 1.5Crad s ω≥。

设计要求：1. 首先， 根据给定的性能指标选择合适的校正方式对原系统进行校正，使其满足工作要求。

要求程序执行的结果中有校正装置传递函数和校正后系统开环传递函数，校正装置的参数T ，α等的值。

2.. 利用MATLAB 函数求出校正前与校正后系统的特征根，并判断其系统是否稳定，为什么?3. 利用MATLAB 作出系统校正前与校正后的单位脉冲响应曲线，单位阶跃响应曲线，单位斜坡响应曲线，分析这三种曲线的关系。

求出系统校正前与校正后的动态性能指标σ%、tr 、tp 、ts 以及稳态误差的值，并分析其有何变化。

4. 绘制系统校正前与校正后的根轨迹图，并求其分离点、汇合点及与虚轴交点的坐标和相应点的增益K *值，得出系统稳定时增益K *的变化范围。

绘制系统校正前与校正后的Nyquist 图，判断系统的稳定性，并说明理由。

5. 绘制系统校正前与校正后的Bode 图，计算系统的幅值裕量，相位裕量，幅值穿越频率和相位穿越频率。

判断系统的稳定性，并说明理由。

()(1)(2)K G S S S S =++3. 用MATLAB 进行控制系统的滞后－超前校正设计 3.1滞后-超前校正设计目的和原理目的：所谓校正就是在系统不可变部分的基础上，加入适当的校正元部件，使系统满足给定的性能指标。

校正方案主要有串联校正、并联校正、反馈校正和前馈校正。

确定校正装置的结构和参数的方法主要有两类：分析法和综合法。

分析法是针对被校正系统的性能和给定的性能指标，首先选择合适的校正环节的结构，然后用校正方法确定校正环节的参数。

在用分析法进行串联校正时，校正环节的结构通常采用超前校正、滞后校正和滞后-超前校正这三种类型。

超前校正通常可以改善控制系统的快速性和超调量，但增加了带宽，而滞后校正可以改善超调量及相对稳定度，但往往会因带宽减小而使快速性下降。

滞后-超前校正兼用两者优点，并在结构设计时设法限制它们的缺点。

原理：滞后-超前校正RC 网络电路图如图1所示。

图1 滞后-超前校正RC 网络下面推导它的传递函数：()()2211221111()11c R M s sC G s E s R sC R sC R sC +==+++令：则：其中1T 为超前部分的参数，2T 为滞后部分的参数。

滞后-超前校正的频域设计实际是超前校正和滞后校正频域法设计的综合，基本方法是利用滞后校正将系统校正后的穿越频率调整到超前部分的最大相角处的频率。

具体方法是先合理地选择截止频率c ω，先设计滞后校正部分，再根据已经选定的β设计超前部分。

应用频率法确定滞后超前校正参数的步骤： 1、根据稳态性能指标，绘制未校正系统的伯德图； 2、选择校正后的截止频率c ω； 3、确定校正参数β； 4、确定滞后部分的参数2T ； 5、确定超前部分的参数1T ；6、将滞后部分和超前部分的传递函数组合在一起，即得滞后-超前校正的传递函数；7、绘制校正后的伯德图，检验性能指标。

3.2 滞后-超前校正的设计过程(1).根据初始条件，调整开环传递函数：当系统的静态速度误差系数110-=S K v 时，v K K =5.0则120-=s K满足初始条件的最小K 值时的开环传递函数为()()()112221122121122111R C s R C s R C R C R C s R C R C s ++=++++1,,,21221121222111>++=+==βββC R C R C R T T C R T C R T ()()()()s T s T s T s T s G c 21211111ββ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=()()()s s s Ks G 5.0115.0++=(2).用MATLAB 求校正前系统的幅值裕量和相位裕量用命令margin(G)可以绘制出G 的伯德图，并标出幅值裕量、相位裕量和对应的频率。

用函数[kg,r,wg,wc]=margin(G)可以求出G 的幅值裕量、相位裕量和幅值穿越频率。

程序：num=[10]; d en=[0.5,1.5,1,0];G =tf(nu m,d en);m argin(G)[kg,r,wg,wc]=margin(G) 得到的幅值裕量和相位裕量如图2所示。

()()()s s s s G 5.01110++=图2 校正前系统的幅值裕量和相位裕量行结果： kg=0.3000 r=-28.0814wg=1.4142 wc=2.4253即幅值裕量dB h 5.103.0lg 20-==，相位裕量β=-28.0814o 。

(3).选择校正后的截止频率c ω，确定校正参数β、2T 和1T 若性能指标中对系统的快速性未提明确要求时，一般对应()︒-=∠180ωj G 的频率作为c ω。

从图2中得，c ω=1.5。

这样，未校正系统的相位裕量为0o ，与要求值仅差+45o ，这样大小的超前相角通过简单的超前校正是很容易实现的。

β由超前部分应产生超前相角ϕ而定，即ϕϕβsi n 1si n 1-+=。

在本题中，︒=︒+︒=50545ϕ，因此55.750sin 150sin 1≈︒-︒+=β取c T ω15112=，以使滞后相角控制在-5o以内，因此1.012=T ，滞后部分的传递函数为01.01.0++s s 。

过()()c c j G ωωlg 20,-，作20dB/dec 直线，由该直线与0dB 线交点坐标1Tβ确定1T 。

未校正系统的伯德图在c ω=1.5处的增益是13dB 。

所以过点（1.5，-13）画一条20dB/dec 的直线，与0dB 线的交点确定转折频率。

经计算得，转折频率89.011=T ，另一转折频率为7.61=T β。

所以超前部分的传递函数为7.689.0++s s 。

将滞后校正部分和超前校正部分的传递函数组合在一起，得滞后-超前校正的传递函数为()01.01.07.689.0++++=s s s s s G c系统校正后的传递函数为4.用MATLAB 函数求出校正前与校正后系统的特征根，并判断其系统是否稳定4.1校正前的特征根及其稳定性 用MATLAB 求出其特征根，程序如下： p=[1 3 2 20]; v=roots(p) 运行结果： v =-3.83710.4186 + 2.2443i0.4186-2.2443i 由于其运行出来的特征根有两个负数根在右半平面，根据传递函数的稳定性判定原理，该传递函数不稳定。

4.2校正后的特征根及其稳定性 用MATLAB 求出其特征根，程序如下： 先求出其闭环传递函数：()()()()()()()()01.07.615.011.089.010++++++=s s s s s s s s G s G cnum=conv([1 0.89],[1 0.89]);den=conv([1 0],conv([1 1],conv([0.5 1],conv([1 6.7],[1 0.01]))));Gk=tf(num,den);sys=feedback(Gk,1)再由下述MATLAB命令，可求出闭环系统的特征根。

>> p=[0.5 4.855 11.1 7.811 1.847 0.7921];V=roots(p)V =-6.7545-1.8697-1.0043-0.0408 + 0.3511i-0.0408 - 0.3511i由于其运行出来的特征根全部都在左半平面，根据传递函数的稳定性判定原理，该传递函数稳定。

5.MATLAB作出系统校正前与校正后的三种曲线并且进行分析5.1校正前(1).校正前单位脉冲响应曲线：程序如下：>> num=20;den=conv([1 1],[1 2 0]);G0=feedback(tf(num,den),1);impulse(G0,0:0.02:8)得到的曲线如下：(2).校正前单位阶跃响应曲线：程序如下：>> num=20;den=conv([1 1],[1 2 0]); G0=feedback(tf(num,den),1); step(G0,0:0.1:15)得到的曲线如下：(3).校正前单位斜坡响应曲线：程序如下：>> t=0:0.02:10;u=t;n=[20];den=conv([1 1],[1 2 0]);sys=tf(n,u);lsim(sys,u,t);>> t=0:0.01:10;得到的曲线如下：5.2 校正后(1).校正后的单位脉冲响应曲线：程序如下：k=10;num=conv([1 0.89],[1 0.89]);den=conv([1 0],conv([1 1],conv([0.5 1],conv([1 6.7],[1 0.01])))); sys=tf(k*num,den);Lsys=feedback(sys,1,-1);[y,t,x]=impulse(Lsys);>> plot(t,y);得到的曲线如下：(2).校正后的单位阶跃响应曲线：程序如下：k=10;num=conv([1 0.89],[1 0.89]);den=conv([1 0],conv([1 1],conv([0.5 1],conv([1 6.7],[1 0.01])))); sys=tf(k*num,den);Lsys=feedback(sys,1,-1);[y,t,x]=step(Lsys);plot(t,y);得到的曲线如下：(3).校正后的单位阶跃响应曲线：程序如下：num=conv([1 0.89],[1 0.89]);den=conv([1 0],conv([1 1],conv([0.5 1],conv([1 6.7],[1 0.01])))); lsim(sys,0:0.01:40,0:0.01:40);6.绘制根轨迹图与Nyquist图6.1校正前的根轨迹图程序如下：num=20;>> den=conv([1 1 0],[1 2]);>> rlocus(tf(num,den))得到的图片如下：6.2校正后的根轨迹图：程序如下：num=conv([1 0.89],[1 0.89]);den=conv([1 0],conv([1 1],conv([0.5 1],conv([1 6.7],[1 0.01])))); rlocus(tf(num,den))得到的图形如下：6.3校正前的Nyquist图程序如下：num=20;den=conv([1 1],[1 2 0]);sys=tf(num,den);figure(1),nyquist(sys);得到的图形如下：6.4校正后的Nyquist图;程序如下：num=conv([1 0.89],[1 0.89]);den=conv([1 0],conv([1 1],conv([0.5 1],conv([1 6.7],[1 0.01])))); sys=tf(num,den);figure(1),nyquist(sys);得到的图形如下：7.绘制系统校正前与校正后的Bode图7.1校正前的Bode图程序如下：num=[10];den=[0.5,1.5,1,0];G=tf(num,den);margin(G)[kg,r,wg,wc]=margin(G)得到的图形如下：运行结果： kg=0.3000 r=-28.0814wg=1.4142 wc=2.4253即幅值裕量dB h 5.103.0lg 20-==，相位裕量β=-28.0814o 。