北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高 三 数 学（理科） 2010.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分. 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合{}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂的元素个数有 （ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个2. “2=a ”是“直线03:21=++y a x l 与直线14:2-=x y l 互相垂直”的 （ ）3.下列结论正确的是( )4.从45名男生和15名女生中按分层抽样的方法，选出8人参加国庆活动.若此8人站在同一排，则不同的排法种数为 （ ） A ．215645C C B ．88215645A C C C ．315545C C D ．88315545A C C5.如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2x y =图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为 （ ）6.设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是 （ ）A ． []63，B ．[]343+，C ．[]634，-D ． []3434+-，A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ． ,R x ∈∃ 使0122<+-x x 成立B ． 0>∀x ，都有2lg 1lg ≥+xx 成立C ．函数22122y x x =+++的最小值为2D ．02x <≤时，函数=y 1x x-有最大值为23A ．51 B ．41 C ．31 D ．2112 题图7. 如图，正方体1111ABC D A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有一个点E ，且11=ED ，则四棱锥D BED A 1-的体积为 ( )8. 已知函数)(x f 和()2+x f 都是定义在R 上的偶函数，当[]2,2-∈x 时，())(x g x f =.则当[]24,24+---∈n n x ∈n Z时，()x f 的解析式为（ ）A ． )(x gB ．)2(n x g +C ．)4(n x g +D ．)4(n x g -第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。

9.已知()nx +3的展开式中二项式系数之和为16，则=n ；设i 为虚数单位，复数()ni +1的运算结果为 .10. 已知非零向量b a ,满足：b a 2=，且()b a b +⊥，则向量a 与向量b 的夹角θ= ___ .11.如果点P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 所确定的平面区域内,点Q 在圆()1)3(322=-+-y x 上，那么|PQ |的最小值为________. 12.执行如图程序框图，若输出的y 值为11，则输入的x 值为_________.A ．22B ． 2C ．24+D ．324+13 题图13.如图,已知ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，90=∠=∠BCD ABC ，a AB =，b BC =，c CD =，且1222=++c b a ，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 .14.用γβα,,三个字母组成一个长度为1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串可能是αβ或αγ；2=n 时排出的字符串可能是αβγαβα，，αγβαγα，(如图).若记这种1+n 个字符串中，排在最后一个的字母仍是α的所有字符串的种数为n a ， 可知，2,021==a a ；则=4a ___ ；数列{}n a 的前n 2项之和=+⋅⋅⋅+++n a a a a 2321 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , B a b sin 23⋅=，且0>⋅AC AB .（Ⅰ）求A ∠的度数； （Ⅱ）若()23cos cos =+-B C A ，6=a ，求ABC ∆的面积.16. （本小题共13分）如图正三棱柱111C B A ABC -，21=AA ,2=AB ，若N 为棱AB 中点.（Ⅰ）求证：1AC ∥平面C NB 1；（Ⅱ）求11C A 与平面C NB 1所成的角正弦值.17. （本小题共13分）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是5，求抽奖者获奖的概率；18（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及,ξξ的值．E D18.（本小题共13分）已知二次函数)(x g 的图像经过坐标原点，且满足12)()1(++=+x x g x g ，设函数)1l n ()()(+-=x x mg x f ,其中m 为非零常数(I)求函数)(x g 的解析式；(II)当02<<-m 时，判断函数)(x f 的单调性并且说明理由； (III)证明：对任意的正整数n ,不等式23111ln(1)nnn+>-恒成立．19.（本小题共14分）已知直线l ：1+=kx y 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 相交于B A ,两点． （Ⅰ）求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若O 为坐标原点，)(k S 表示OAB ∆的面积，13)]([)(22++=kk S k f ，求)(k f 的最大值.20. （本小题共14分）已知函数555)(+=xx f ，m 为正整数．（Ⅰ）求)0()1(f f +和)1()(x f x f -+的值； （Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为)(mn f a n =（m n ,,2,1 =），求数列}{n a 的前m 项和m S ； （Ⅲ）设数列}{n b 满足：211=b ，n n n b b b +=+21，设11111121++++++=n n b b b T ，若（Ⅱ）中的m S 满足对任意不小于3的正整数n ，57774+<n m T S 恒成立，试求m 的最大值.北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测高三数学（理）参考答案及评分标准2010.1一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CADBCADC二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上.题号 9101112 1314答案4,4-32π122-5π,6()3142-n三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵B a b sin 323⋅=，∴由正弦定理知：B A B sin sin 32sin 3⋅=, ∵B 是三角形内角， ∴0sin >B ,从而有23sin =A ，∵0>⋅AC AB ，∴A ∠= o60.……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）将()B A C π=-+代入()23cos cos =+-B C A 得：()()23cos cos =+--C A C A ,利用两角和与差的余弦公式展开得：43sin sin =C A ；21sin =C ．相应的有：C ∠= o30,∴ABC ∆的面积为36.………………………………………………………………13分16. （本题满分13分）证明：（Ⅰ）连结1BC 和1CB 交于O 点，连ON ．∵111C B A ABC -是正三棱柱， ∴O 为1BC 的中点.又N 为棱AB 中点,∴在1ABC ∆中,1//AC NO ,又C NB 1平面⊂NO ,1AC ⊄平面C NB 1,∴1AC ∥平面C NB 1；…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）建如图所示空间直角坐标系， ∵()0,0,0N ，()0,2,11B ，()3,0,0C ，()0,2,11-A ，)3,2,0(1C ，∴()3,0,0=NC ， ()0,2,11=NB 设平面C NB 1的法向量为n ),,(z y x =，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001n NB n NC ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=0203y x z ，令2-=y ，得n )0,2,2(-=，∵),3,0,1(11=C A ∴66262,cos 111111=⋅=⋅⋅=C A n C A n C A n ，∴11C A 与平面C NB 1所成的角正弦值为66.………………………………………13分17. （本题满分13分）解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，由185292=C C n ，得5=n ，故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为612924=C C ；…………………………………6分（Ⅱ）ξ～)61,4(B 的分布列为)4,3,2,1,0()65()61()(44===-k C k P kk k ξ；ξ0 1 2 3 4P4004)65()61(C3114)65()61(C2224)65()61(C1334)65()61(C444)65()61(C∴32614=⨯=ξE ，95)611(614=-⨯⨯=ξD ．…………………………………………13分18.（本题满分13分）解：（Ⅰ）设c bx ax x g ++=2)(，)(x g 的图象经过坐标原点，所以c=0.∵12)()1(++=+x x g x g ∴12)1()1(22+++=+++x bx ax x b x a即：1)2()2(22+++=++++x b ax b a x b a ax∴a=1,b=0, 2)(x x g =；…………………………………………………………………４分（Ⅱ）函数)1ln()(2+-=x mxx f 的定义域为()1,-+∞．1122112)(2'+-+=+-=x mx mxx mx x f ，令122)(2-+=mx mx x k ，12)21(2)(2--+=m x m x k ，12)21()(max --=-=m k x k ，∵02<<-m ，∴012)(max <--=m x k ，0122)(2<-+=mx mxx k 在()1,-+∞上恒成立，即0)('<x f ，当02<<-m 时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递减．………………９分 （III ）当1=m 时，2()ln(1).f x x x =-+，令332()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32'3(1)()1x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，∴)(x h 在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.， 即当()0,x ∈+∞时，有32ln(1)0,x x x -++>23ln(1)x x x +>-，对任意正整数n ，取1x n=得23111ln(1)nnn+>-．…………………………………………１３分19.（本题满分1４分）解：（Ⅰ）直线l 与y 轴的交点为N （0，1），圆心C （2，3），设M （x ，y ）， ∵MN 与MC 所在直线垂直，∴1231-=--⋅-x y xy ，（)20≠≠x x 且，当0=x 时不符合题意，当2=x 时，3=y 符合题意，∴AB 中点的轨迹方程为：034222=+--+y x y x ，477477+<<-x .……………6分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，∵ONA ONB OAB S S S ∆∆∆-=，且1=ON ，∴1221x x ON S OAB -⋅⋅=∆将1+=kx y 代入方程1)3()2(22=-+-y x 得07)1(4)1(22=++-+x k x k , ∵2211)1(4kk x x ++=+，22117kx x +=⋅∴42122121224)(x x x x x x S OAB⋅-+=-=∆=222)1(121232k kk +--，∴13)()(22++=kk S k f =22)1(8+kk ， 0∵由0)1()33)(33(24)('32=+-+-=k k k k f ，∴33±=k ，∵0>∆得374374+<<-k ,∴33=k 时，)(k f 的最大值为233 (4)20. （本题满分1４分） 解：（Ⅰ）515555)0()1(+++=+f f =1；)1()(x f x f -+=5555551+++-xx=xx x55555555⋅+⋅++=1；………………………………４分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 )11( 1)1()(-≤≤=-+m k mk f mk f ,即,1 1)()(=+∴=-+-k m k a a , mk m f mk f由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- …………②由①＋②, 得,21)1(2m m a m S +⨯-=∴45521)1()1(21)1(-+⨯-=+⨯-=m f m S m ，…10分（Ⅲ） ∵,211=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+,∴对任意的0 *,>∈n b N n .∴,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n nn b 1b 11b 1+-=+.∴111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n nn b b b b b b b b b T .∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当3≥n , 且+∈N n 时, 3T T n ≥. ∵256777)11621(1621,1621)143(43 ,43)121(21,214321=+==+==+==b b b b∴.77725621243-=-=≥b T T n ∴,577743+<T S m ∴5.650<m .而m 为正整数，∴m 的最大值为650. …………………………………………………………………………………1４分。