山东省临沂高新实验中学届高三上学期期末考试数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝|0，a |，N ＝|x |x 2－2x －3<0,x ∈Z|，若M∩N≠∅，则a 的值为A ．1B ．2C ．1或2D ．不为零的任意实数2．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，＋∞）上单调递增的是A ．y ＝sin xB ．y ＝－x 2C ．y ＝lg2xD ．y ＝e|x |3．若cos （2π－α）＝35且a ∈（－0,2π）,则sin （π－α） A ．－35B ．－32 C ．31 D ．±324．给出以下命题：①Ax ∈R ，有x 4>x 2；②Ea ∈R ，对Ax ∈R 使x 2＋2x ＋a<0,其中真命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．35．若x ∈（0，1），则下列结论正确的是 A ．2x >x 21>lgxB ．2x >lg x >x 21C ．x 21>2x >lg xD ．lg x >x 21>2x6．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是 A ．121B ．101 C ．253 D ．125127．把直线x －2y ＋λ＝0向左平移1个单位，再身下平移2个单位后，与同线x 2＋y 2＋2x －4y ＝0正好相切，则实数λ的值为 A ．－13或3B ．13或－3C ．13或3D ．－13或－38．已知函数y ＝f （x ）在（0，1）内的一段图象是如图所示的一段圆弧，若0<x 1<x 2<1,则 A ．()11x x f <()22x x f B ．()11x x f ＝()22x x f C ．()11x x f >()22x x f D ．不能确定 9．如图，三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC 且△ABC 为正三角形，M 、N 分别是PB 、PC 的中点若截面AMN ⊥侧面PBC ，则此棱锥侧面PBC 与底面ABC 所成二面角的余弦值是A ．2nB ．22 C ．36 D ．66 10．在等比数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为Sn ，若数列|a n ＋1|也是等比数列，则S n 等于 A ．2nB ．3nC ．2n ＋1－1D ．30－111．在△OAB 中，OD b OB a OA ,,==是AB 边上的高，若AB AD λ=，则实数λ行等于 Ａ．()2ba ab a --⋅ B ．()2ba b a a --• C ．()ba ab a --•D ．()ba b a a --•12．如图，过抛物线y 2＝2px （p >0）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝x 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆球直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上． 13．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是__________． 14．一个总体依有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是_________． 15．某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不给予折扣；②如一次购物超过200元不超过500元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只云一次购买同样的商品，则他应该付款为__________________元． 16．设函数f （x ）＝sin （ω＋φ）（ω>0,－2π）,有下列论断： ①f （x ）的图象关于直线x ＝12π对称； ②f （x ）的图象关于（0,3π）对称；③f （x ）的最小正周期为π；④在区间［－0,6π］上，f （x ）为增函数． 以其中的两个论断为条件，剩下的两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：若___________，则_________________．（填序号即可）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，则ABC S ∆=•38（其中S △ABC 为△ABC 的面积）．（1）求sin 2A CB 2cos 2++； （2）若b ＝2,△ABC 的面积S △ABC ＝3，求a ． 18．（本小题满分12分）如图，在五面体，ABCDF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面ABF 是等边三角形，棱EF ＝BC 21． （1）证明EO ∥平面ABF ； （2）问CDBC为何值是，有OF ⊥ABE ，试证明你的结论．19．（本小题满分12分）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船 不需要等等码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率．20．（本小题满分12分）函数y ＝f （x ）是定义域为R 的奇函数，且对任意的x ∈R ,均有f （x ＋4）＝f （x ）成立，当x ∈（0,2）时，f （x ）＝－x 2＋2x ＋1． （1）当x ∈[4k －2,4k ＋2]（k ∈Z ）时，求函数f （x ）的表达式； （2）求不等式f （x ）>23的解集．21．（本小题满分12分）设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N*,都有a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2，其中Sn 为数例{a n }的前n 项和． （1）求证：a n 2＝2S n －a n ； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）设b n ＝3n ＋（－1）n －1λ·2a n （λ为非零整数，n ∈N*），试确定λ的值，使得对任意n ∈N*,都有b n ＋1>b n 成立．22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)0(235222>=+m m y x ，经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆G 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆于N 点．（1）是否存在k ，使对任意m>0，总有ON OB OA =+成立？若存在，求出所有k 的值； （2）若()m m OB OA 4213+-=•，求实数k 的取值范围．数学（理工）试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分） 1．D2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B11．B 12．C二、填空题（每小题4分，共16分） （13）2S（14）76 （15）582．6 （16）①③，②④或②③，①④ 三、解答题17．（本小题满分12分） 解：（1）∵.38ABC S AC AB ∆=• ∴|A AC AB A AC AB sin 2138cos •=••| 1分∴cosA ＝A sin 342分∴cosA ＝,53sin 54=A ，3分 ∴sin2()A C B A C B 2cos 2cos 12cos 2++-=++＝1cos 22cos 12-++A A ＝.50596分（2）∵sinA ＝.53由S △ABC ＝A bc sin 21，得3＝,53221⨯⨯c 解得c ＝5． 9分∴a 2 ＝b 2＋c 2－2be cos A ＝4＋25－2×2×5×54＝1318．（本小题满分12分）（1）证明：取AB 中点M ，连结OM ．2分在矩形ABCD 中，OM ＝BC 21， 又EF ＝BC 21，则EF ＝OM ， 连结FM ，于是四边形EFMO 为平行四边形．∴OE ∥FM ． 4分 又∵EO ⊄平面ABF ，FM ⊂平面ABF ，∴EO ∥平面ABF ．6分（2）解：∵OF ⊥平面ABE ，连结EM ．∵EM ⊂平面ABE ．∴OF ⊥EM ，又四边形OEFM 为平行四边形． ∴□OEFM 为菱形．8分∴OM ＝MF ，设OM ＝a ，则BC ＝2a ．在正△ABF 中，MF ＝a ，∴a ＝3AB 2，∴AB 3a =． 10分∴CD ＝3a ，∴2323BC aCD a ==综上可知，当3=CDBC时，有OF ⊥平面ABE ．12分19．（本小题满分12分）（1）设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则O≤x <24，0≤y <24且y －x >4或y －x <－4作出区域⎪⎩⎪⎨⎧-<><≤<≤.4x -y 4,x -y 24,y 0,240或x4分设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P （A ）＝.362524242020212=⨯⨯⨯⨯6分（2）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y >2．8分设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域．⎪⎩⎪⎨⎧>->-<≤<≤.2,4,240,240y x x y y x 或 10分P （B ）＝.2882215764422424222221202021==⨯⨯⨯+⨯⨯12分20．（本小题满分12分）（1）当x ＝0时，∵f （0）＝－f （0）,∴f （0）＝0．1分当x ∈[－2,0]时，－x ∈（0,2）,f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2－2x ＋1）＝x 2＋2x －1．3分由f （x ＋4）＝f （x ）,知f （x ）为周期函数，且周期T ＝4． 4分 当x ∈[4k －2,4k]（k ∈Z ）时，x －4k ∈[－2,0],∴f （x ）＝f （x －4k ）＝（x －4k ）2＋2（x －4k ）－1． 5分当x ∈（4k ,4k ＋2）（k ∈Z ）时，x －4k ∈（0,2）, ∴f （x ）∈f （x －4k ）＝－（x －4k ）2＋2（x －4k ）＋1． 6分故当x ∈[4k －2,4k ＋2]（k ∈Z ）时，f （x ）的表达式为f （x ）＝()()[)(]⎪⎩⎪⎨⎧+∈+-+---∈--+-24,4,1)4(22)4(,04,24,14242k k x k x k x k k x k x k x7分（2）当x ∈［－2，2］时，由f （x ）>23得⎪⎩⎪⎨⎧>-+<≤-2312022x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤<2312202x x x解得1－.22122+<<x 10分∵f （x ）是以4为周期的周期函数， ∴f （x ）>23的解集为|x |4k ＋1－221422++<<k x |． 12分21．（本小题满分12分）（1）由已知，当n ＝1时，a 13＝a 12,又∵a 1>0,∴a 1＝1．1分当n≥2时，a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2① a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n －13＝S n －12②2分由①②得，a n 3＝（S n －S n －1）（S n －S a －1）（S a ＋S a －1）＝a n （S n ＋S n －1）． ∵a n >0,∴a n 2＝S n ＋S n －1, 又S n －1＝S a －a a ,∴a n 2＝2S n －a n ．3分当n ＝1时，a 1＝1适合上式． ∴a n 2＝2S n －a n ．4分（2）由（1）知，a n 2＝2S n －a n ,③当n≥2时，a n －12＝2S n －1－a n －1,④5分 由③④得，a n 2－a n －12＝2（S n －S n －1）－a n ＋a n －1＝a n ＋a n －1．6分∵a n ＋a n －1>0,∴a n －a n －1＝1,数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1． 7分 ∴a n ＝n ．8分（3）∵a n ＝n ．,∴b n ＝3n ＋（－1）n －1λ·2n ．要使b n ＋1>bn 恒成立，b n ＋1－b n ＝3n ＋1－3n ＋（－1）n λ·2n ＋1－（－1）n －1λ·2n ＝2×3n －3λ（－1）n －1·2n>0恒成立，9分即（－1）n －1λ<（23）n －1恒成立． ⅰ。