C1A1 n
a
2
所以 cos C1A1, n
C1A1 n a 2
.
2
3
由图可知，二面角 F
BC1
E 为钝角，所以二面角
F
BC1
E 的大小为 . 4
（ⅱ）假设在线段 EF 上存在点 P ，使得 AP EF .
…………… 10 分
EP
设
, [0,1]，则 EP EF .
EF
因为
AP AE EP AE 又 AP EF ，
所以 EF // 平面 A1C1CA .
B F
C1
z
E
A1
C
A
xB
C1 E
y
C
………………… 4 分
（Ⅱ）因为侧面 A1C1CA 是正方形，所以 A1C 1 C1C . 又因为平面 A1C 1CA 平面 BCC1B1 ，且平面 A1C1CA 平面 BCC1B1 C1C ，
所以 A1C1 平面 BCC1B1 .所以 A1C1 C1B . 又因为 BC1 C1C ，以 C1为原点建立空间直角坐标系 C1 xyz ，如图所示 . 设 C1C a ，则 A(0, a, a), B (a,0,0), C (0, a,0), A1(0,0, a), B1(a, a,0) ，
北京市朝阳区 2018-2019 学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷答案（理工类）
2019.1
一、选择题（ 40 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
D
B
A
A
B
C
B
二、填空题（ 30 分）
题号
9
答案
25
三、解答题（ 80 分）
10
11
12
8
7
5
3
15. （本小题满分 13 分）
12
5
解：（Ⅰ）由 cosC
高三数学期末考试理科答案 3
1 (ⅲ ) 若 0 m ，则 ln m
1 .故当 f (x) 0 时， x ln m 或 x
1；
e
当 f ( x) 0 时， ln m x 1 .
所以 f ( x) 在 ,ln m ， 1, 单调递增，在 ln m, 1 单调递减 .
. ………… 8 分
（Ⅲ） (1)当 m 0 时， f (x) xex ，令 f (x) 0 ，得 x 0 .因为当 x 0 时， f ( x) 0，
3
6
（Ⅱ）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：
C,A,B
……… 13 分
17. （本小题满分 14 分）
证明：（Ⅰ）取 A1C1中点 G ，连 FG ，连 GC .
在 △A1B1C1中，因为 F , G 分别是 A1B1, A1C1 中点， 1
所以 FG // B1C1 ，且 FG = 2 B1C1 .
. ………… 14 分
1，
又因为当 x
, 1 ， f ( x) 0 ，函数 f ( x) 为减函数；
当 x 1, ， f ( x) 0 ，函数 f (x) 为增函数 .
所以， f ( x) 的极小值为 f ( 1)
1
.
e
（Ⅱ） f (x) (x 1)(ex m) .
. ………… 3 分
当 m 0 时，由 f (x) 0 ，得 x 1 或 x ln m .
P( X
0)
C22C20 C42
1 ， P(X
6
1)
C21C21 C42
4 6
2 ， P(X
3
2)
C20C22 C42
1 .
6
所以分布列为
高三数学期末考试理科答案 1
X
0
1
2
1
2
1
P
6
3
6
所以数学期望 E( X ) 0 P( X
0) 1 P( X
1) 2 P( X
2) 1 2
1
2
1 .……… 10 分
， 0 C ，所以 sin C
.
13
2
13
8 C
13
能
8
14
2 22
AB
由正弦定理得，
sin C
5
BC ，即 AB
sin C
BC
=13
13
sin A
sin A
2
2
5 2 . . ……… 6分
（Ⅱ）在 △ ABD 中， cos B cos( 3 C )
2 cosC
2
17 2
sin C
.
4
2
2
26
由余弦定理得， AD 2 AB2 +BD 2 2 AB BD cos B ,
( ⅰ)若 m
1 ，则 f ( x)
(x 1)(ex
1 )
0 .故 f ( x) 在
,
e
e
（ⅱ）若 m 1 ，则 ln m 1.故当 f (x) 0 时， x 1或x e
上单调递Байду номын сангаас；
ln m ；
当 f ( x) 0 时， 1 x ln m .
所以 f ( x) 在 , 1 ， ln m, 单调递增，在 1,ln m 单调递减 .
E( a , a ,0), F ( a , a , a ) .
22
2 22
（ⅰ）设平面 FBC 1的一个法向量为 n ( x, y,z) .
ax 0,
由
n C1B
0,
得
a
a
a
x 0,
即
令 y 1，所以 n (0,1,1).
n C1F 0
x y z 0. 22 2
y z.
高三数学期末考试理科答案 2
又因为 A1C1 平面 BC1E ，所以 C1A1 (0,0, a) 是平面 BC1E 的一个法向量 .
A1
A
F
G
在平行四边形 BCC1B1中，因为 E 是 BC 的中点， B 1
1 所以 EC // B1C1，且 EC= 2 B1C1 .
所以 EC//FG ，且 EC=FG .
所以四边形 FECG 是平行四边形 .
所以 FE //GC .
B1
又因为 FE 平面 A1C1CA ， GC 平面 A1C1CA ，
当 x 0 时， f ( x) 0 ，所以此时 f ( x) 在区间 ,1 上有且只有一个零点 .
(2)当 m 0时：
（ⅰ）当 m
1
时，由（Ⅱ）可知
f ( x) 在
所以 AD 2
(5 2) 2+ 169
13 17 2 2 52
29
.
4
2 26 4
29
所以 AD
.
2
……………… 13分
16. （本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） B 市共有 5 个销售点， 其小麦价格从低到高排列为： 2450， 2460， 2500， 2500，2500.所以 中位数
为 2500，所以甲的购买价格为 2500. C 市共有 4 个销售点，其小麦价格从低到高排列为： 2400，2470， 2540，2580， 故 X 的可能取值为 0，1， 2.
aa EF ( , , a)
22
a aa
a
(0, a, ) ( , a , a ) ，
2 22
2
所以 AP EF a 0 ( a a )( a) ( a a ) a a2( 1
2
2
22
4
) 0.
所以 0 [0,1] . 故点 P 在点 E 处时，有 AP EF
18. （本小题满分 13 分）
解： (Ⅰ ) 当 m 0 时： f ( x) (x 1)ex ，令 f ( x) 0 解得 x