求线段（或线段和）（周长）最值问题福建莆田月塘中学潘立城中考数学压轴题中常出现有关几何最值问题，很多同学不知如何想，无从下手，感到这类题目很难，应该是尖子生同学做的题目，与我们这些一般生无关，避而远之。
这类题目很多，内容丰富，涉及面广，解法灵活多样，就像孙悟空七十二变，变化多端。
孙悟空再怎么变化，也跑不出如来佛的“手掌心”。
解几何最值的“手掌心”是什么呢？：撑握了如来佛的这一法宝，有关几何最值的各种“妖魔鬼怪”题都能解答。
一、“手掌心”法宝:三角形中两边之和大于第三边特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律找关键点：定点，中点，圆心。
④线段的转移特征：“定”点在“定”直线上⑤二次函数最值特征：有“表达式”①垂线段最短②两点间线段最短“弯”线变“直”线特征“直”线的特征①“直”线:定点--动点(定点--动点--动点）(动点--动点--动点）②直:定点--动点--定点直:动点--定点--动点二、类型名词解释：定直线指动点运动所在的直线①垂线段最短特征：“弯”线变“直”线对称轴lACBM定点“弯”线“直”线例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是4 。
①标：定点A，定点C，动点B定直线AC，定直线l②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线l作点A关于定直线l的对称点M“弯”线AB+BC变“直”线MC“直”线:定点M--动点B--定点C垂线段最短①标：定点C，动点M，动点N定直线BD，定直线BC②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线BD作点N关于定直线BD的对称点E“弯”线CM+MN变“直”线CME“直”线:定点C--动点M--动点E垂线段最短例4例3.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为【 】 ①标：动点Q ，动点K ，动点P 定直线AC ，定直线l 特征：“弯”线QK+KP 变“直”线对称轴：定直线BD作点P 关于定直线BD 的对称点P 1“直”线:动点Q--动点K--动点P 1两平行线间垂线段最短xyOl P ’F P H①标：定点F ，动点P 定曲线：抛物线 ②特征：动点F 在定曲线：抛物线上抛物线是到定点F 距离与到定直线l 距离相等的点的集合。
找到定直线l利用两点PA 之间的距离公式(一个字母）12111)141(24222++=-+=∴m m m m PA 141141222+=⎪⎭⎫⎝⎛+=m m (完全平方公式，能展开）定直线l ：X=-1PF=PP ’垂线段最短②两点间线段最短特征：特征：“弯”线变“直”线对称轴例1如图13—3，A 、B 两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？ 例2 如图13—6，河流EF 与公路FD 所夹的角是一个锐角，某公司A 在锐角EFD 内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边例 3 甲、乙两村之间隔一条河，如图13—1．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？平移河宽EF 到AC 如何展开？ “弯”线“直”线“弯”线“直”线例4 如图13—8是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A 点出发在纸盒表面上爬到B 点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程例1 2013年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中，已知点A (－2,0)，B (0,4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA ． （1）如图1，求点E 的坐标；（2）如图2，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE ′O ′，连结A ′B 、BE ′．①设AA ′＝m ，其中0＜m ＜2，使用含m 的式子表示A ′B 2＋BE ′2，并求出使A ′B 2＋BE ′2取得最小值时点E ′的坐标； ②当A ′B ＋BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2 “直”线“弯”线特征：“弯”线变“直”线 对称轴动点A ′--定点B--动点E ′′两点间线段最短比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13—9（1）爬行的路线最短，最短路程为5三角形中两边之和大于第三边特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律例5. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm ． 【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A 竖直剖开）后侧面是一个长18（一半）宽12的矩形，作点A 关于杯上沿MN 的对称点B ，连接BC 交MN 于点P ，连接BM ，过点C 作AB 的垂线交剖开线MA 于点D 。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP ＋PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP =BP 。
例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】特征：“一”条线OD段且“动”点D“不”在定线上，无规律找关键点：中点出现定长DE和OE例2. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为3．特征：“一”条线EF段且“动”点E和F “不”在定线上，无规律找关键点：圆心出现△OEF△OEF也是动态问题动中不动∠EOF=120°EF最小值，就是OE最小值点O,点E都是动点OE的条件是半径转为直径AD的最小值点A是定点，动点E在定线BC上AD垂线段最短例3.（2012浙江义乌10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．特征：“一”条线段EP1且“动”点P1“不”在定线上，无规律找关键点：定点B构造△EBP1EP1最值转为求BP1的最值转为求BP的最值BP垂线段最短④线段的转移特征：“定”点在“定”直线上2.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD =2，∠C =60°，M 是BC 的中点． （1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD （即MD ′）与AB 交于一点E ，MC （即MC ′）同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．△AEF 周长的最小值特征：“定”点A 在“定”直线AB 种AD 上线段AF 的转移AF 转移到BEAF+BE=AB(2是定值)△EFM 中的动中不动∠EMF=60°EF 最小值，就是FM 最小值点M 是定点，动点F 在定线ADC 上MF 垂线段最短⑤二次函数最值 特征：有“表达式”【解】设AC ＝x ，则BC ＝2－x ，∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝2x 2，CE ＝2(2x)2－ 。
∴∠DCE ＝90°。
例1.（2012江苏扬州3分）如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ▲ ．特征：DE 长的最小值有“表达式”∴DE2＝DC2＋CE2＝（2x2）2＋[2(2x)2－]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1。
∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。
简记步骤：1.标2.特征：1)“弯”线变“直”线对称轴2)上线段转移转为第三边的最值以第三边的另一个小图形特殊的等腰三角形（90°120°60°45°等）3)无规律关键点定点中点圆心4)动点在曲线上解析式为特殊式消X或消Y“直”线的特征①“直”线:定点--动点(定点--动点--动点）(动点--动点--动点）②直:定点--动点--定点直:动点--定点--动点①垂线段最短②两点间线段最短完全平方式能展开找到直线l 5)有“表达式”二次函数最值。