几何中线段和，差最值问题
一、解决几何最值问题的通常思路
①两点之间线段最短；
②直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例
一般处理方法：
常用定理：
两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）
三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）
二、典型题型
1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，
OP =PMN 的周长的最小值为 6 ．
P
A +P
B 最小， 需转化， 使点在线异侧
B
l
2．如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =
4
7
．
3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|PA ﹣PB |的最大值为 5 ．
D P
B′N B
M
A
4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在
BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 ．
5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、
AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 8-54 ．
6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为1
2+．
7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 2 ．
8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为3．
9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围2BB′+CC′+DD′2≤．
是≤
10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 3 ．
11．点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，
12.如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__2.4_______．
13.如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是_13+_______.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为___15+______．
14.动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限
定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 ．
1. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、
AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．
（1）当P 落在线段CD 上时，PD PD 4≤ ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于多少？A
D
C
B
P
Q A'
2. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上
任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM . （1）当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；中点
（2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由.EC 与BD 的交点为M
连接MN ，则三角形BMN 为等边三角形，∆BMC ≅ ∆BMA ≅∆BNE,所以MC=MA=EN,即AM ＋BM ＋CM=EN+MN+MC,AM ＋BM ＋CM 的值最小时，E,N,M,C 四点在同一直线上
A
B C D A
B
C
D
E
M N
P F
E D C
B
A A B
C
D E
F
P A
B
C
D
E
M N
3. 如图，已知平面直角坐标系中A ，B 两点的坐标分别为A （2，-3），B （4，-1）.
（1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p ＝_
2
7
_______时，△PAB 的周长最短； （2）若C （a ，0），D （a +3，0）是x 轴上的两个动点，则当a ＝__4
5
______时，四边形
ABDC 的周长最短；
（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0），N （0，
n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请写出m 和n 的值；若不存在，请说明理由.
x x x m=25,n=3
5
-
课堂作业：
几何中的最值问题
1． 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =90°，AB =6，对角线AC 平分∠BAD ，点E
在AB 上，且AE =2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋PB 的最小值是____102______．
C
D
Q
P
B
A P
E
D
C
B A
60°
A'45°
M
O
C
D
B
A N
M
A
B
D
C C'C
Q
P B
A
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2． 在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，
连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为________15+____cm （结果不取近似值）.
3． 如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB =a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ，
点M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为
a ）（4
2
-46 ． 4． 如图，在锐角△ABC
中，AB =∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点M ，
N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为______4_____．
5． 在Rt△ACB 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，P 、Q 两点分别是边AC 、BC 上的动点，
将△PCQ 沿PQ 翻折，C 点的对应点为C'，连接A C'，则A C'的最小值是_2________．
6． 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A
在x 轴上
运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B
第6题图
7． 一次函数y 1=kx -2与反比例函数y 2=m
x
（m <0）的图象交于A ，B 两点，其中点A 的坐
标为（-6，2）
（1）求m ，k 的值；m=-12,k=-3
2
（2）点P 为y 轴上的一个动点，当点P 在什么位置时|PA -PB |
的值最大？并求出最大值.53
8． 已知点A （3，4），点B 为直线x =-1上的动点，设B （-1，y ）．
（1）如图1，若点C （x ，0）且-1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数关系式；y=4
3242++-x x
（2）如图2，当点B 的坐标为（-1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF =1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形
E 的坐
标．(5
3,0)
图1 图2
B (-。