均值不等式的证明(精选多篇)第一篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0 (用数学归纳法)。
当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）第二篇：均值不等式证明均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)²-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x²y²-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=1+1/a2+..+1/an)证明：1.sqrt(((a1) +(a2) +..(an) )/n)≥(a1+a2+..an)/n两边平方,即证((a1) +(a2) +..(an) )≥(a1+a2+..an) /n(1)如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：柯西不等式变式：a1 /b1+a2 /b2+...an /bn≥(a1+a2+...an) /(b1+b2...+bn)当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a1 +a2 +...an )*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)(1)琴生不等式:若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)令f(x)=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数nf((x1+x2+...x1a2a3...an(3)数学归纳法:但要用到(1+x)>1+nx这个不等式，不予介绍3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n左边=n次根号+n次根号++n次根号+...n次根号由2得和≥n*n次根号(它们的积)所以左边≥n*n次根号(1)=n所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)证毕特例：sqrt(a +b /2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b证明：1.sqrt(a +b /2)≥(a+b)/2两边平方a +b ≥(a+b) /4即证(a/2-b/2) ≥0显然成立2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移项即证(sqrt(a)-sqrt(b))≥0显然成立此不等式中a+b可以表示一条直径的两部分，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r≥弦的一半3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。
第四篇：均值不等式及证明一、均值不等式（一）概念：第五篇：均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。
一般的均值不等式我们通常考虑的是an?gn: 一些大家都知道的条件我就不写了x1?x2? (x)n?x1x2...xn我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：二维已证，四维时：a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4八维时:(a?b?c?d)?(e?f?g?h)?4abcd?4efgh?8abcdefghabcd?4abcd这样的步骤重复n次之后将会得到x1?x2? (x2)2n?2nx1x2...x2n令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2? (x2)nx1?x2? (x)n?a由这个不等式有a?na?(2?n)a2nn?2nx1x2..xna2?nn?(x1x2..xn)2an1?n2n即得到x1?x2? (x)n?nx1x2...xn这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：n若0?ai?1(i?1,2,...,n)证明?i?111?ai?n1?(a1a2...an)n例2：n若ri?1(i?1,2,...,n)证明?i?11ri?1?n1?(r1r2...rn)n这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明：当n?2时11?a1?11?a2??(1??a1?a2)?2(1?a1)(1?a2)设p?a1?a2,q??(1?q)(2?p)?2(1?p?q)?p?2q?pq?2q?p(1?q)?2q(q?1)?p?2q，而这是2元均值不等式因此11?a1? ?11?a22n?11?a3?11?a4??此过程进行下去n?i?11?ai1?(a1a2...a2n)2n令an?1?an?2?...?a2n?(a1a2...an)n?g n有?i?1n11?ai11?ai?(2?n)n11?g?nn2?nn?n1?(gg?n)n1?g即?i?1例3：已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都?1(1?i?n),记r?t? n1nn?r,sii?1nn?sii1nnii?1nn?uii,v?1nn?v，求证下述不等式成立：ii?i?1(risitiuivi?1risitiuivi?1)?(rstuv?1rstuv?1)n要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数f(x)?ln因此e?1e?1xx是在r上单调递减rstuv??(rstuv?1rstuv?1)?n我们要证明：n?(rstuvi?1iiiirisitiuivi?1i?1)?证明以下引理：?(xi?1xi?1ix2?1x2?1n?1)?n?2时，?(令a?x1?1x1?1)()?2?a(x1x2?1?x1?x2)?(x1?x2?1?x1x2)?2a(x1x2?x1?x2?1)?a(x1x2?1?x1?x2)?(1?x1x2?x1?x2)?2a(x1x2?1?x1?x 2)?(a?1)(x1x2?1)?2a(x1x2?1)显然成立2?nnn因此?(xi?1xi?1 n)?(g?1g?1 )2?nn?( ggggnnnn?1?1 2?n2n)，g?n?(g?1g?1 n因此?(i?1xi?1xi?1n)?所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明jensen: f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)，则四维：f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f(x1?x2)?2f(x3?x4)?4f(x1?x2?x3?x4)一直进行n次有f(x1)?f(x2)?...?f(x2n)nx1?x2? (x2)n),令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2? (x2)nx1?x2? (x)nn?a有f(x1)?...?f(xn)?(2?n)f(a)nn?f(na?(2?n)an)?f(a)所以得到f(x1)?f(x2)?...?f(xn)n?f(x1?x2? (x)n)所以基本上用jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比jensen的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件。