《对数函数及其性质》
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；
2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；
3.了解反函数的概念，知道指数函数x
=与对数函数log a
y a
=互为反函数
y x
()
>≠．
0,1
a a
学习策略：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照．
知识回顾——复习
指数函数图象及性质：
要点一：对数函数的概念
1．函数 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为 ；
（2）底数为 的常数； （3）对数的真数仅有 ． 要点诠释：
（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求 ，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意 ． 要点二：对数函数的图象与性质
a ＞1 0＜a ＜1
图象
性质
定义域： 值域：
过定点 ，即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数
在（0，+∞）上是减函数
当0＜x ＜1时， ＜0，
当x ≥1时， ≥0
当0＜x ＜1时， ＞0， 当x ≥1时， ≤0
关于对数式log N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，
以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三：底数对对数函数图象的影响
1．底数制约着图象的升降． 如图
要点诠释：
由于底数的取值围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与 对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈 轴； 当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而 轴.(见下图)
要点四：反函数
1．反函数的定义
设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ= 也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称 函数()x y ϕ=是函数()y f x =的 ，记作 ，在1()x f y -=中，
y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成 （,x B y A ∈∈）的形式．
函数()y f x =的值域B 正好是它的反函数1()y f x -=的 ．
要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2y x =．一般说来，单调函数有反函数．
2．反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于 对称．
（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则 必在其反函数图象上， 反之，若(),b a 在反函数图象上，则 必在原函数图象上．
类型一：对数函数的概念
例1.下列函数中，哪些是对数函数？
（1）log 0,1)a
y a a =>≠； （2）2log 2;y x =+
（3）28log (1)y x =+； （4）log 6(0,1)x y x x =>≠；
（5）6log y x =．
【总结升华】 类型二：对数函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
例2. 求下列函数的定义域：
(1)
2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.
【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.
(1) 典型例题——自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．
(2)
【总结升华】 举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
(1) y=
(2)
lg 23y x x =
+-.
类型三：对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 例3. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9；
(2)0.20.2log 1.9,log 3.5；
(3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．
(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。

【总结升华】
例4．利用对数函数的性质比较0.23、3log 2、5log 4的大小．
【总结升华】
举一反三： 【变式1】已知324log 0.3
log 3.4
log 3.6
15
,5
,,5a b c ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭
则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
例5．求函数212
log (21)y x x =-++的值域和单调区间.
【思路点拨】先解不等式2210x x -++>，保证原式有意义，然后再在定义域围求函数221t x x =-++的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是函数与外函数的单调性“同增异减”来求解．
【总结升华】
举一反三：
【变式1】求函数()22log 4y x =+的值域和单调区间．
类型四：函数的奇偶性
例6. 判断下列函数的奇偶性.
(1)2-()ln
;2x f x x
=+ (2)()-)f x x =. 【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。

（2）求()f x -，如果()()f x f x -=，则函数是偶函数，如果()()f x f x -=-，则函数是奇函数。

【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. （1） （2）
【总结升华】
类型五：利用函数图象解不等式
例7．若不等式2log 0x a x -<，当10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时恒成立，数a 的取值围．
【思路点拨】画出函数2x y =的图象与函数log a y x =的图象，然后借助图象去求借。

举一反三：
【变式1】 当x ∈（1，2）时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值围．
类型六：对数函数性质的综合应用
例8．（1）已知函数2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，数a 的取值围；
（2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，数a 的取值围；
（3）22()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2
，数a 的取值围．
【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题.
()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，
因为这里要求()f x 取遍一切实数，即要求22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是0∆≥.
【总结升华】
举一反三：
【变式1】已知函数2
f x ax x
=++.
()lg(21)
（1）若函数()
f x的值域为R，
f x的定义域为R，数a的取值围；(2)若函数()
数a的取值围.。