2.2.2 对数函数及其性质(二)自主学习1．理解对数函数的性质．2．掌握对数函数的单调性及其应用．基础自测1．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[0,1]2．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)3．下列不等式成立的是( )A ．log 32<log 23<log 25B ．log 32<log 25<log 23C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 32对点讲练利用对数函数单调性解不等式【例1】 (1)已知log a 12>1，求a 的取值范围； (2)已知log 0.72x <log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．规律方法 (1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移1 已知log a (2a ＋1)<log a (3a )，求a 的取值范围．对数函数最值问题【例2】 已知集合A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x 的最大值比最小值大1，求a 的值．规律方法 利用函数单调性求最值时，关键看底数a 是否大于1，当底数未明确范围时，应进行讨论．变式迁移2 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 利用图象求参数范围【例3】 若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．规律方法 “数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能降低人的思维难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合，在平时做题时一定要注意图象的运用．变式迁移3 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．(0，12)解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一要看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二要注意其定义域；三要注意数形结合思想的应用．课时作业一、选择题1．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数2．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( ) A ．[22，2] B ．[－1,1] C ．[12，2] D ．(－∞，22]∪[2，＋∞) 3．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 4．函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )5．若log a 34<1，则a 的取值范围是( ) A ．a >1 B ．0<a <34或a >1 C ．0<a <34 D.34<a <1 二、填空题6．已知log 0.45(x ＋2)>log 0.45(1－x )，则实数x 的取值范围是____________．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(6－a )x －4a (x <1)log a x (x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值范围为______．三、解答题8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，求满足f (x )>0的x 的取值范围．9．求函数y ＝log a (a －a x )的值域．2.2.2 对数函数及其性质(二) 答案基础自测1．D 2.D 3.A对点讲练【例1】 解 (1)由log a 12>1得log a 12>log a a . ①当a >1时，有a <12，此时无解． ②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1. ∴a 的取值范围是(12，1)． (2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x <log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧ 2x >0x －1>02x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围为(1，＋∞)．变式迁移1 解 (1)当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ a >12a ＋1<3a2a ＋1>0，解得a >1.(2)当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <12a ＋1>3a3a >0，解得0<a <1.综上所述，a 的范围是0<a <1或a >1. 【例2】 解 当a >1时，y max ＝log a π，y min ＝log a 2，由题意有log a π－log a 2＝1，∴a ＝π2. 同理，当0<a <1时，有log a 2－log a π＝1.∴a ＝2π.故所求的值为a ＝π2或2π. 变式迁移2 B [不论a 大于1还是0<a <1，最大值与最小值和均为f (0)＋f (1)，∴f (0)＋f (1)＝a ，解得a ＝12.故选B.] 【例3】 解要使不等式2x <log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x 的图象在⎝⎛⎭⎫0，12内恒在函数y ＝2x 图象的上方，而y ＝2x 图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.由图可知，log a 12≥2， 显然这里0<a <1，∴函数y ＝log a x 递减．又log a 12≥2＝log a a 2， ∴a 2≥12，即a ≥⎝⎛⎭⎫1222. ∴所求的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1222≤a <1.变式迁移3 C[设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，由图象知显然不成立．当a >1时，如图所示，要使当x ∈(1,2)时，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1<a ≤2.故选C.]课时作业1．D [已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称， 且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数． 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．]2．A [由－1≤2log 12x ≤1得 －12≤log 12x ≤12， 即log 12(12)－12≤log 12x ≤log 12(12)12， ∴22≤x ≤ 2.] 3．D [已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.] 4．C 5.B6．(－2，－12) 解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0x ＋2<1－x， 解得－2<x <－12. 7．[65，6) 解析 f (x )是R 上的增函数，则当x ≥1时，y ＝log a x 是增函数，∴a >1.又当x <1时，函数y ＝(6－a )x －4a 是增函数，∴6－a >0，∴a <6.又(6－a )×1－4a ≤log a 1，得a ≥65.∴65≤a <6. 8．解 ∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.设x <0，则－x >0，∴f (x )＝－f (－x )＝－lg(－x )，∴f (x )＝⎩⎨⎧ lg x (x >0)0 (x ＝0)－lg (－x ) (x <0)，由f (x )>0得⎩⎨⎧ x >0lg x >0或⎩⎨⎧x <0－lg (－x )>0， ∴x >1或－1<x <0.9．解 ∵a x >0且a －a x >0， ∴0<a －a x <a .∴当a >1时，y ＝log a (a －a x )<log a a ＝1； 当0<a <1时，y ＝log a (a －a x )>log a a ＝1. 故当a >1时，其值域为(－∞，1)； 当0<a <1时，其值域为(1，＋∞)．。