信号估值与检测
一、信号检测与估值理论的研究对象
信号检测与估值理论是现代信息理论的一个重要分支，是以率论与数理统计为工具，综合系统理论与通信工程的一门学科。
它为通信、雷达、声纳、自动控制等技术领域提供理论基础。
此外，它在统计识模、射电天文学、雷达天文学、地震学、生物物理学以及医学等领域里，也获得了广泛的应用。
众所同知，通信、雷达、自动控制系统等都是当代重要的信息传输和处理系统，对它们的性能要求，总的说来有两个方面。
一是要求系统能高效率地传输信息，这就是系统的有效性；
二是要求系统能可靠地传输信息，这就是系统的可靠性或抗干扰性。
‹ 使系统信息传输可靠性降低的主要原因有：
1．不可避免的外部干扰和内部噪声的影响；
2．传输过程中携带信息的有用信号的畸变。
二．信号检测与估值理论发展的简略回顾
‹ 信号检测与估值理论是从40 年代第二次世界大战中逐步形成和发展起来的。
整个40 年代是这个理论的初创和奠基时期。
在这期间，美国科学家维纳(N．Wiener)和苏联科学家柯尔莫格洛夫(A．H．Ｋ)等作出了杰出的贡献。
他们将随机过程和数理统计的观点引入到通信①和控制系统中来，揭示了信息传输和处理过程的统计本质，建立了最佳线性滤波理论，后人称之为维纳滤波理论。
这样，就把经典的统计判决理论和统计估值理论与通信工程紧密结合起来，为信号检测与估值理论奠定了基础。
对于当时的传统观念来说，维纳滤波理论的创立是一次冲击和突破。
因此，在20 和30 年代，人们在研究信息传输系统的可靠性问题时，总是习惯于把信号看成是一个确定性的过程（周期过程或瞬态过程），因而具有很大的局限性。
第一章
贝叶斯准则（Bayes Criterion）：在假设Hj的先验概率P(Hj)已知，各种判决代价因子cij给定的情况下，使平均代价C最小的准则。
根据贝叶斯准则得到似然比检验，将似然比函数（转移概率密度函数之比）λ(x)与最佳似然比门限η（由先验概率和判决代价因子确定）比较来判决哪种假设成立。
似然比检测有时可简化为对数似然比检验。
还可进一步化简，使判决表达式左边的检验统计量为观测量x的最简函数。
贝叶斯准则是信号统计检测理论中的通用准则，对各假设的先验概率P(Hj)和各种判决的代价因子cij做某些约束，则得到它的派生准则，如最小平均错误概率准则（先验等概时即为最大似然（ML）准则），最大后验概率（MAP）准则，极小化极大准则，Neyman-Pearson（N-P）准则。
最小平均错误概率准则（Minimum mean probability of error criterion）：使平均错误概率最小的检测准则。
在通信系统中，通常有c00=c11=0, c10=c01=1，即正确判决不付出代价，错误判决代价相同，此时平均代价C恰好就是平均错误概率Pe，贝叶斯准则就转化为其特例形式的最小平均错误概率准则，似然比检验的判决门限为η=P(H0)/P(H1)，似然比函数仍为λ(x)=P(x|H1)/P(x|H0)。
当先验等概时，η=1，判决就表示为两个似然函数P(H0), P(H1)的比较，即转化为最大似然（Maximum Likelihood）准则。
最大后验概率准则（Maximum a posteriori probability (MAP) criterion）：最小平均代价的贝叶斯准则在判决代价满足c10−c00=c01−c11的条件下，其判决式成为P(x|H1)/P(x|H0) P(H0)∕P(H1)（上述最小平均错误概率准则也即为此），最终可表示为P(H1|x)＞＜P(H0|x)，即比较后验概率的大小，就成为最大后验概率准则。
易知，最小平均错误概率准则（因而最大似然准则）是MAP准则的特例，也可以说，在给定的判决代价条件下，两种准则是等价的。
奈曼-皮尔逊准则
在许多情况下，信号的先验概率和代价因子无法知道，如雷达系统要确定目标出现与不出现的概率是困难的，此时无法应用贝叶斯准则，应以检测概率最大为准则，如果用降低检测门限的方法来提高检测概率，但门限降低后又会使虚警概率加大，因此只能在对虚警概率加以限制的条件下，使检测概率最大，这就是奈曼-皮尔逊准则。
极小化极大准则（Minimax Criterion）：在已经给定代价因子cij，但先验概率P(Hj)未知时，为避免产生可能过分大的代价，使极大可能代价极小化的信号检测准则。
其方法是，猜测一
个先验概率P1g用来确定贝叶斯准则的似然比检测门限η=η(P1g)，P1g的选取使得可能产生的极大平均代价最小。
结果是，无论实际先验概率P1为多少，极小化极大准则的平均代价都等于Cminmax（贝叶斯准则的最小平均代价的最大值），而不会产生过分大的代价。
在c00=c11=0条件下，极小化极大方程为c01PM(P1g)= c10PF(P1g)，进一步若c10=c01=1，则为PM(P1g)= PF(P1g)，即P1g的选择使漏检概率和虚警概率相等，此时的极小化极大代价就是平均错误概率PF(P1g)。
最大似然估计
我们已经知道进行贝叶斯估计要用到被估计量的后验概率密度函数，因而必须给出先验概率密度函数和似然函数，如果对被估计参量的分布规律毫无所知，在这种情况下，可采用最大似然估计法。
线性最小均方误差
如果没有关于观测信号矢量x 和被估计矢量θ的概率密度函数先验知识，而仅知道观测信号矢量和被估计随机矢量θ的前二阶矩，即均值矢量、协方差矩阵、互协方差矩阵；在这种情况下，我们要求估计量的均方误差最小，但限定估计量是观测量的线性函数。
最小二乘估计
最小二乘估计由于它不需要任何先验知识，只需要关于被估计量的观测信号模型，就可以实现信号参量的估计。
最小均方误差意义上的最佳滤波器设计需要预先知道前二阶矩。
然而这些统计信息在很多实际应用中无法得到，我们仅能得到输入和期望相应信号的测量值。
为了避免这个问题，我们可以：（1）如果可能的话，从可用的数据估计出需要的二阶矩，从而得到最佳MMSE滤波器的估计；（2）通过最小化性能标准，即可用数据的函数，而设计最佳滤波器。
总结：知道各假设的先验概率P(Hj)，并对每种可能判决给定了代价因子cij的条件下，用贝叶斯准则（以及MAP准则、最小平均错误概率准则、ML准则等）；如果不知道先验概率，可采用极小化极大准则；在不能预知先验概率，也无法对各种判决给定代价因子的情况，如雷达监测，人们最关心判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)，可采用Neyman-Pearson准则。