• 【答案】
B
2021/02/25
8
2．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系 数是8，则它的第三项的二项式系数为
() A．24 B．18 C．16 D．6 【解析】 T2＝Cn1an－1(2b)1＝C1n·2an－1b， 所以2n＝8，n＝4，所以Cn2＝C24＝6.
• 【答案】 D
2021/02/25
9
3．(2x＋
1 x2
)7的展开式中倒数第三项的系数
是( )
A．C76·2 B．C76·26
C．C75·22 D．C75·25 【解析】 由于n＝7，可知展开式共有8项．
∴倒数第三项即为正数第六项．
由通项公式Tr＋1＝Crn·an－r·br可得
T6＝C57·(2x)2·x12)5＝C75·4·x2·x110
2021/02/25
17
二项展开式的通项公式Tr＋1＝
C
r n
an－rbr(r＝0,1,2，…，n)集中体现了二项
展开式中的指数、项数、系数的变化，它
在求展开式的某些特定项(如含指定幂的
项、常数项、中间项、有理项、系数最大
＝C57·4·x18，
∴倒数第三项的系数是C57·22.
• 【答案】
C 2021/02/25
10
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
当 n 是偶数时，__中__间__的__一__项__C_n2_n__取得最
大值．
2021/02/25
5
当 n 是奇数时，中间两项______和_______
相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和 (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等 于 2n，即_C_n0_＋__C_1n_＋__C__2n＋__…__＋__C__rn_＋__…__＋__C_nn_ ＝2n.
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
2021/02/25
13
【思路点拨】 写出展开式的通项公式
根据第6项为常数项求n 由n值令x的指数 为2，求r 求出x2的项的系数 令x的指数 为整数k 根据0≤r≤n，r∈Z，求k 根 据k值求出展 开式的有理项
• 【答案】 9
2021/02/25
11
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】
2
2021/02/25
12
求特定的项或特定项的系数
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 _等__于___ 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 ， 即 ___C_n1_＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…_____ ＝ C__n0＋__C__2n_＋__C_4n_＋__…_ ＝__2_n－_1_.
2021/02/25
6
二项式定理中，项的系数与二项式系数有什 么区别？ 【提示】 二项式系数与项的系数是完全不同的
(n∈ N*)叫 做 二 项 式 定 理 ． 其 中
C
k n
(k
＝
0,1,2， … ， n)叫做 _二__项__式__系__数__． Tk ＋ 1＝ ____C__nk_a_n－_k_b_k______ 叫 做 二 项 展 开 式 的 通
项，它表示第__k_＋__1__项．
2021/02/25
3
• 在公式中，交换a，b的顺序是否有 【提影示响】？从整体看，(a＋b)n 与(b＋a)n 相同，
两个概念.二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它
只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项
的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅
与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关.
2021/02/25
7
1．若对于任意实数 x，有 x3＝a0＋a1(x－2) ＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则 a2 的值为( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】 ∵x3＝[2＋(x－2)]3， ∴展开式中含(x－2)2 项的系数为 a2＝T2＋1＝C23×23－2＝3×2＝6.
2021/02/25
14
【自主解答】 (1)通项公式为 Tr＋1＝Crnxn－3 r(－12)rx－3r＝Crn(－12)rxn－32r. 因为第6项为常数项， 所以r＝5时，有n－3 2r＝0，即n＝10.
2021/02/25
15
(2)令n－3 2r＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6) ＝2， ∴所求的系数为C210(－12)2＝445.
10－3 2r∈Z (3)根据通项公式，由题意0≤r≤10 .
r∈Z
2021/02/25
16
令
10－2r 3
＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r
＝5－32k. ∵r∈Z，∴k应为偶数． ∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它
们分别为
C120(－12)2x2，C150(－12)5，C180(－12)8x－2.
但具体到某一项是不同的，如第 k＋1 项 Tk＋1＝
knan－kbk，T′k＋1＝Cknbn－kak.
2021/02/25
4
2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端__“__等__距__离__”__的两 个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m. (2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 __k_＜__n_＋_2_1___时，二项式系数是递增的；当 __k_＞__n_＋_2_1___时，二项式系数是递减的．
• 第三节 二项式定理及 应用
2021/02/25
1
考 纲 点 击
掌握二项式定理和二项展开式 的性质，并能用它们计算和 证明一些简单的问题.
1.运用二项式定理的通项公式
热 求指定项或与系数有关的问
点 题；
2021/02/25 提 2.赋值法、转化与化归思想等
2
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝ _C_n0_a_n_＋__C_n1_a_n_－_1_b_＋__…__＋__C_kn_a_n_－_kb_k_＋__…__＋__C__nnb_n