附录A 扩散输运理论简介
一 引言
• 三种理论体系，即梯度输送理论、统计扩散理论和相似理 论。
• 梯度输送理论认为环境介质中一个固定点上的扩散与局地 的浓度梯度成正比，也就是说这个理论实质上是欧拉理论 体系（研究流体相对于空间固定坐标系的运动性质的理论 方法）。
• 统计扩散理论研究跟随流体粒子的运动的方法，即它是拉 格朗日的理论体系。
(x,y,z+dz)
(x+dx,y,z+dz)
u(x,y,z)
u(x+dx,y,z)
(x,y+dy,z) (对流（流速差）产生的微元质量变化 扩散（浓度差）产生的微元质量变化
质量守恒（没有考虑源和汇） 扩散输运方程
• 上式就是流体动力学地面污染物浓度变化的基 本方程。
• 泰勒公式
• 泰勒公式表明，粒子湍流扩散的范围取决于湍 流强度（湍流脉动速度的大小）和脉动速度的 拉格朗日相关性。湍流强度越大，脉动速度的 相关程度越高，在相同时间段内粒子扩散的范 围就越大。利用这一原理，可以通过对湍流中 单个粒子运行轨迹和速度的观测推算扩散粒子 的分布。
• Lt是拉格朗日相关长度。
二、统计扩散理论
• 研究物质浓度的脉动平均入手，追踪粒子 运动史而完成的，也就是从微观角度来看 待扩散输运过程，用统计的方法来研究浓 度的变化。
• P可以理解为微粒的概率密度分布函数。 • 扩散统计理论的重要内容之一是寻找粒子
的概率密度分布。
一维随机游 走过程图
• 经过n步以后，离开起点m步的几率为
• 如果 K是常数，就称为菲克扩散方程。
• 求解扩散输运方程的方法经常被称其为K理论。 事实上，K的数值是很难确定的，通常是通过 实验获取的。
• 菲克方程的解情况。 • 一维点源瞬时释放为例
• 如果u、v、w可以看成常数，则
• 发展出K理论。对于u、v、w和K不是常数，而 是时空的变化量，或者初始边界条件非常复杂 就必须采用数值求解（CFD）。
• 1、当行走的步数充分大以后，所走距离的概率密 度分布接近正态分布
• 2、无规行走位移的方差（相当于扩散参数）与行 走步数（时间）的平方根成正比
• 如果有大量粒子按照无规则行走的方式同 时从原点出发，经过相当长时间以后，它 们的浓度分布接近正态分布，而分布的标 准差与时间的平方根成正比。
• 当然流体的扩散还受到其他因素的影响， 情况比简单的无规则行走模型复杂的多。 但是在平稳和均匀湍流的情况下可以证明 粒子分布符合正态规律。
三 相似理论
• 相似理论的基本原理其实是拉格朗日相似性的 假定。假定流场的拉格朗日性质仅仅取决于表 征流场欧拉性质的那些已知的参量。从湍流的 统计扩散理论，我们知道粒子扩散的特征与流 场的拉格朗日性质相关，而用这个假定，我们 就可以把它和流速等的空间分布（欧拉性质） 联系起来了。
• 由于相似理论的并不是本书的主要内容，感兴 趣的同志可以参阅其他相关资料，本书就不作 进一步介绍了。
• 相似理论是一个独特的理论体系，它是基于量纲分析发展 起来的，是利用流场欧拉性质的参数来表述其拉格朗日特 性一种参数化理论，也就是它是拉格朗日的"相似性"理论。
一、梯度输送理论
• 菲克(Fick)定律（1855年，德国生理学家菲 克发表了一篇题为"论扩散"的文章）
扩散通量
扩散系数
浓度
(x,y+dy,z+dz) (x+dx,y+dy,z+dz)