3.
设数列{an
}
满足条件
lim
n
a2n
a,
lim
n
a2 n 1
b ，求极限 lim a1 a2 n
an n
。
4．用极限的“
”定义直接验证 lim x2
1 x2 1
1 3
。
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
1.（8 分）设 0 x 1 ，证明不等式 (1 x)ln 2 (1 x) x2 。
4.
n
设 an
k 1
1 n2 k
，极限
lim
n
an
1
1
n
5.
设 a,b
均为正数， lim
n
an
2b n 31来自6. lim(1 cos x)ln x
。
x0
。 。
7. x 0 时， 1 tan x 1 sin x 无穷小的阶为
。
8.
函数
f
(x)
x2 1 x 1
,
x 1 在 x 1处间断点的类型为
2, x 1
9.
设
f
(x)
1 ex x
x 0 ，则 f (0)
。
1 x 0
10.
设
f
可导，函数 y
f
dx (sin x) 存在可导的反函数，则
dy
11.
函数
y
y( x)
由参数方程
x
y
t t
sin t cos t
给出，其微分
dy
。
。 。
12. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 100) ，则 f '(0)
2. (7 分)设 f (x) 于闭区间[0,1] 上可导， f (0) 0 ， f (1) 1，且 f (x) 不恒等于 x 。证明存 在 (0,1) ，使得 f '( ) 1。
第 1 页/共 1 页
清华大学本科生考试试题专用纸
考试课程
微积分 A(1)样题
系名
班级
姓名
学号
一．填空题（每空 3 分，共 15 题）（请将答案直接填写在横线上！）
1. 设 A x x2 2x 3 0 ，则inf A
。
2.
设
xn
1 n
(1)n 2
，则 lim sup
n
xn
。
3.
lim cos
1
x
。
x x
。
13. 参数曲线 x et sin t, y 4t cost 在 xy 平面上点 (1,1) 处（即 t 0 )的切线方程
为
。
14. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 3) ，则 f (x) 在区间 (0,2) 内有
个零点。
15. 函数 x arctan x 题在 x 时的渐近线为
。
二．计算题（每题 10 分，共 4 题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）
1.
设二阶可导函数 y
y(x) 由方程 sin( x
y)
x
y
确定，求二阶导数
d2y dx2
。
2. 求函数 f (x) ln x 在开区间 (0,) 上的单调区间，极值和极值点，凸性区间以及渐近线 x
（如果存在的话），并画出草图。