清华大学第二学期期末考试模拟试卷一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1,2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4、4-和7，则该向量的起点A 的坐标为___________________________．2. 设a 、b 、c都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=⋅+⋅+⋅a c c b b a_____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则=∂∂yz_____________________________． 4. 设yx z =，则=∂∂∂yx z2___________________． 5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时，25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为270='Lf ，350='K f 。

如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________6. 交换积分顺序，有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy_____________________________．7. 设级数∑∞=1n nu收敛，且u un n=∑∞=1，则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________．8. -p 级数∑∞=11n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．10. 对于微分方程xey y y -=+'+''23，利用待定系数法求其特解*y 时，应设其特解=*y ______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）． 答案： 1. ()0,3,2-A ；2. 23-； 3. ()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -； 4. ()x y xy ln 11+-；5. 2750单位；6.()()⎰⎰⎰⎰----+1111112,,x xdy y x f dxdy y x f dx ；7. 02u u -； 8. 1>p ； 9.213sin 61C x C x x ++-； 10. xAxey -=*．二．（本题满分8分） 求过点()3,2,10-P ，且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程．解：所求直线l 过点()3,2,10-P ，设其方向向量为s，由于l 平行于平面12=+z x 和23=-z y ，所以其方向向量s同时垂直于向量{}2,0,11=n 与{}3,1,02-=n ．因此，方向向量s可取为 ，k j i kj i s n s++-=-=⨯=32310201 ．从而所求直线方程为133221-=-=-+z y x ． 三．（本题满分8分）设函数⎪⎭⎫⎝⎛=x y x zF x u k,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试求zu z y u y x u x∂∂+∂∂+∂∂． 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-22211,,,x y x y x z F x x z x y x z F x x y xzF kx x u kkk ⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---x y xz F yx x y xz F zx x y x z F kxk k k ,,,22121⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y x z F x x x y x zF x y u k k ,1,212⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y xz F x x x y xz F x z u k k ,1,111 所以， zuz y u y x u x∂∂+∂∂+∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=---x y xz F yx x y x z F zx x y x z F kx x k k k ,,,22121 ⎪⎭⎫⎝⎛'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅+--x y xz F x z x y x zF xy k k ,,1121⎪⎭⎫⎝⎛=x y x zF kx k, 四．（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰≤++=42222y x y xdxdy e I 的值．解：作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，则有⎰⎰⎰⎰==≤++220422222rdr e d dxdy eI r y x yx πθ()1212422-=⋅=e er ππ．五．（本题满分8分）某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为xy y x y x c -+=222),( （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？ 解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： 2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c （万）六．（本题满分10分）⑴. 将()21ln arctan x x x x f +-=展开为x 的幂级数；⑵. 指出该幂级数的收敛域；⑶. 求级数()()∑∞=--1121n nn n 的和． 解：⑴. 因为()()∑∞=-=+='22111arctan n nn x x x ()1<x ，且00arctan =，所以，()()()∑∑⎰⎰∑∞=+∞=∞=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01200200212111arctan n n nn xnn xn n n x n dt t dt t x()11≤<-x而()()∑∞=-=+=+12221211ln 211ln n n nx nx x ()11≤≤-x所以，()21ln arctan x x x x f +-=()()∑∑∞=∞=+--+-=12012121121n n nn n nx nxn x()()()()∑∑∞=+∞=++--+-=012022121121n n nn n nx n xn ()∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=222211211n n n x n n ()()()∑∞=+++-=02222121n n nx n n ()11≤≤-x⑵. 幂级数()()()∑∞=+++-02222121n n n x n n 的收敛域为[]1,1-．⑶. 令1=x ，则有()()()()∑∑∞=∞=--=--1112212121n n n n n n n n ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅==2ln 214211ln 1arctan 12122πf2ln 2-=π．七．（本题满分10分）求微分方程()1ln ln +=+'x x y x y x 的通解． 解：该方程为一阶线性微分方程xx y x x y ln 1ln ln 1+=+' 因此，()x x x P ln 1=， ()xx x Q ln 1ln +=． 代入一阶线性微分方程的求解公式，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰+⎰=⎰-C dx e x x e y dx x x dx x x ln 1ln 1ln 1ln ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+=⎰C xdx x x x ln ln 1ln ln 1 ()()C dx x x ++=⎰1ln ln 1()C x x x+=ln ln 1所以，原方程的通解为 ()xC x C x x x y ln ln ln 1+=+=八．（本题满分10分）讨论级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 的绝对收敛性与条件收敛性． 解：⑴. 因为级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 为交错级数，nn u n 1ln+=．由于， ()()0122ln 12ln 1ln 12ln 2221<+++=++=+-++=-+n n nn n n n n n n n u u n n 所以数列{}n u 单调减少而且01lnlim lim =+=∞→∞→nn u n n n ． 因此由Leibniz 判别法知，级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 收敛． ⑵. 讨论级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln 1ln 1n n nn n n n ．其前n 项部分和为∑=+=nk n kk s 11ln()()()()[]n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-= ()∞→+=1ln n ()∞→n所以，级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln 1ln 1n n nn n n n 发散． 综上所述知，级数()∑∞=+-11ln 1n n nn 条件收敛． 九．（本题满分8分）设函数()u f 具有二阶连续的导函数，而且()y e f z xsin =满足方程z e yz x z x22222=∂∂+∂∂， 试求函数()u f ． 解：设y e u xsin =，则有()y e u f xzx sin '=∂∂，()y e u f y z x cos '=∂∂ 所以，()()y e u f y e u f x z xx sin sin 2222'+''=∂∂()()y e u f y e u f xz xx sin cos 2222'-''=∂∂ 代入方程 z e yz x z x22222=∂∂+∂∂，得，()()()()z e y e u f y e u f y e u f y e u f x x x x x22222sin cos sin sin ='-''+'+'' 即，()()x xe uf eu f 22=''由此得微分方程 ()()0=-''u f u f 解此二阶线性微分方程，得其通解为 ()uueC e C u f -+=21 （1C 与2C 为任意常数）此即为所求函数．。