(1分 )
= 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2x sin y
(2 分)
= 2x(1 2x2 sin 2 y)e x2 y2 x4 sin2 y ,
(3 分)
u f f z y y z y
(4 分)
= 2 yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x 2 cos y
y2
1 2 yy 22 y5 dy 2 1
=
1 2

y4 4

4 3
y3
2y2

y6 6

2 1
=
5
5 8
5.解 对 f (x) 进行偶延拓, 并由公式有
an

2
x 1 cos nxdx
0
=
2
(x
1) sin n
2b0 x 2b0 b1 2x
比较等式两端同次幂的系数,得

2b0 2, 2b0 b1 0.
解得 b0 1, b1 2. .因此求得一个特解为
y x(x 2)e2x 从而所求的通解为 y C1e2x C2e3x (x2 2x)e2x
(8 分) (10 分)
(5 分)
= 2( y x4 sin y cos y)e x2 y2 x4sin 2 y
2.解 这里方向 l 即向量 PQ (1, 1) 的方向,与 l 同向的
(6 分)
单位向量为
el (
1 , 2
1) 2
因为函数可微分,且
z x
|(1,0)

e2 y
|(1,0)
1
4
cos
x

1 32
cos 3x

1 52
cos
5x


(0 x )
(6 分)
四解
令
P

2(x 2
y
y2)
,
Q
2(
x
x 2
y
2
)
.
则当 x 2
y2
0 时,有
Q
x

2
x2 x2

y2 y2
2
= P y
.
(2 分)
记 L 所围成的闭区域为 D , 当 (0,0) D 时,由格林公式便得
n1
a2 2n 2
收敛,
故原级数绝对收敛.
.
(2)因为
|
un n
|
1 2
(u
2 n

1 n2
)
,
而级数

u
2 n
n1
和级数
n1
1 n2
均收敛
(2 分) (5 分) (6 分) (8 分)
(2 分) (4 分) (5 分)
再由收敛级数的性质知, 级数 (1)n un 绝对收敛. (7 分)
1

z
2 x

z
2 y

a
.
a2 x2 y2
(2 分)
由计算公式得
I


dS z
a2
Dxy
adxdy x2
y
2
.
利用极坐标,得
I
a2
Dxy
adxdy x2
y2
add Dxy a 2 2
(3 分) (4 分)
= a
2 d
D
D
六 解: (1) 因为
= 2 2 e y dy 1 y2 1 y 2 x 2 dx
0
1 y 2
= 2 1 y 2 e y dy 3 e2 1 0
|
(1)n 1
cosa n来自|2sin 2
a 2n

a2 2n 2
.

又级数
0
a2 h2 0
d a2 2
=
2a
1 2
ln
a2


2
a2 h2 0
2a ln a . h
4.解 利用二重积分中 Y-型区域计算公式有
I
xyd
D

2 1
y y2
2
xydx

dy
=
2 x2
1

2
y2 y dy
n1
n
七 解: 由 | un1 | = | 2n 3 x || x | ( n ),
u
2n 1

知级数在 1 x 1 时收敛,显然当 x 1时, (2n 1)(1)n 发散, n1
故收敛区间为 (1,1) . 设其和函数为 S(x) ,则
(2 分)

五 解: 在 xy 面上的投影区域 D 为
D {(x, y) | 0 y 2, 1 y 2 x 1 y 2 }
从而有
I= dxdy 1 y2 x2 e y dz 2 e y 1 y 2 x 2 dxdy 1 y 2 x2
1
z y
|(1,0)

2 xe2 y
|(1,0)

2
故所求方向导数为
(2 分) (4 分)
z l
|(1,0)
1
1 2( 2
1 ) 2
2. 2
3.解: 的方程为
(6 分)
z a2 x2 y2.
在 xOy 面上的投影区域 Dxy 为圆形闭区域 x, y | x 2 y 2 a 2 h2 . 又
(3 分) (6 分) (7 分) r 2 5r 6 0
有两个实根 r1 2, r2 3 .于是与所给方程对应的齐次方程的通解为
Y C1e 2x C2e3x
(3 分)
由于 2 是特征方程的单根, 所以应设 y 为
y x(b0 x b1 )e2x .
把它代入所给方程, 得
nx

cos nx n2
0
=
2 n 2
(cos n
1)
0, n 2,4,6,,
=
4 n 2
,n
1,3,5,.
a0

2
(x 1)dx 2
0
将求得 a n 的代入余弦级数,得
(6 分) (3 分)
(6 分)
(3 分)
x
1

2

S (x 2 ) (2n 1)x 2n
x 2n1 /
n1
n1
= x 2n1 /
n1



1
x
3
x
2
/

3x2 x4 (1 x 2 )2
从而有
S(x)

3x x2 (1 x)2
,
x (1,1)
八解
与所给方程对应的齐次方程为 y // 5 y / 6 y 0 , 它的特征方程
《高等数学 A2》试卷 A 评分标准
一. 1. D;
2. B;
3.A;
4.C
5.C
二.
1. 4 ;
2. 充分
3. P cos Q cos R cos dS , 法向量;

4. 收敛, 发散;
5.
y


x2
1
C
,
其中 C 是任意常数.
三 1.. 证 由复合函数求导法则,
所以 u f f z x x z x
L 2 x2 y2

l
ydx xdy 2 x2 y2
0,
(6 分)
其中 l 的方向取逆时针方向.于是
L
ydx xdy 2 x2 y2

l
ydx xdy 2 x2 y2
=
2 0

r
2
sin
2
2r 2
r
2
cos
2

d
= .
(8 分)
ydx xdy
L 2 x2 y2
0;
(3 分)
当 (0,0) D 时,选取适当小的 r 0 ,作位于 D 内的圆周 l : x 2 y 2 r 2 .
记 L 和 l 所围成的闭区域为 D1 . 对复连通区域 D1 应用格林公式,得
ydx xdy