为12×1Leabharlann ×2＝1,所
以
∫
0 －1
(－2x)dx＝1.
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第一章 导数及其应用
题型三 利用定积分的性质求定积分 例3 求解以下各题: (1)若∫10[f(x)＋g(x)]dx＝3,∫10[f(x)－g(x)]dx＝ －5,则∫10f(x)dx＝________; (2)若∫ba2f(x)dx＝5,则∫baf(x)dx＝________.
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第一章 导数及其应用
方法感悟 方法技巧 1.定积分∫baf(x)dx 是一个数值(极限值).它的 值仅取决于被积函数与积分上、下限.另外∫ba f(x)dx 与积分区间[a,b] 息息相关,不同的积分 区间,所得值也不同.
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第一章 导数及其应用
n
2.
定
积
分
就
是
和
的
极
限
lim
n→∞
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第一章 导数及其应用
想一想
2.当 f(x)<0 时,∫baf(x)dx 是否有几何意义？
提示:有.
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第一章 导数及其应用
3.定积分的性质 (1)∫bakf（x）dx＝_k_∫_ba_f（ __x_） __d__x__ (k 为常数); (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx ＝_∫ba_f_1_(x_)_d_x____±_∫_baf_2_(x_)_d_x_____; (3)∫baf(x)dx＝_∫ca_f_(x_)_d_x__＋∫_bc_f(_x_)_d_x (其中 a<c<b).
n
n
所以 Sn＝i∑＝1ΔSi＝∑i＝1
2ni·1n＝n22(1＋2＋3＋…
＋n)
＝n22·n（n2＋1）＝1＋1n,
所以∫102xdx＝nli→m∞Sn＝nli→m∞ 1＋1n＝1.
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第一章 导数及其应用
题型二 利用定积分的几何意义求定积分
例2 (本题满分 12 分)利用定积分的几何意
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第一章 导数及其应用
做一做
已
知
∫
3 2
f(x)dx
＝
2,∫
7 3
f(x)dx
＝
3,
则
∫
7 2
f(x)dx
＝
________.
答案:5
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第一章 导数及其应用
典题例证•技法归纳
题型探究 题型一 利用定积分的定义求定积分 例1 用定积分的定义证明∫bakdx＝k(b－a).
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记作∫baf(x) dx,即∫baf(x)dx＝_nli_→m_∞_i∑＝n_1__b_－n__a_f_(ξ_i_) , 其中,a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限___, 区 间 [a,b] 叫 做 __积__分__区__间____,函 数 f(x) 叫 做 _被__积__函__数________,x 叫 做 __积__分__变__量___,f(x)dx 叫做___被__积__式_____.
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第一章 导数及其应用
【名师点评】 利用定积分的性质可将被积 函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分, 将未知的定积分转化为已知的定积分;对于分 段函数类型的定积分,可以利用定积分的性质 分解求解.
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第一章 导数及其应用
变式训练 x，x∈[0，2），
3.已知 f(x)＝ 4－x，x∈[2，3）， 52－x2，x∈[3，5]，
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备选例题
第一章 导数及其应用
已知函数 f(x)＝
x3，
x∈[－2，2），
2x， x∈[2，π），
cosx， x∈[π，2π]，
求 f(x)在区间[－2,2π]上的定积分.
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第一章 导数及其应用
解:由定积分的几何意义知 ∫2－2x3dx＝0, ∫π22xdx＝（π－2）2（2π＋4）＝π2－4, ∫2ππcosxdx＝0, 由定积分的性质得 ∫2－π2f(x)dx ＝∫2－2x3dx＋∫π22xdx＋∫2ππcosxdx＝π2－4.
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第一章 导数及其应用
解:(1)∫20(3x＋1)dx 表示的是图(1)中阴影所示 梯 形的 面积 ,其面积 为 12× (1＋ 7) ×2 ＝8,所以 ∫20(3x＋1)dx＝8.
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第一章 导数及其应用
(2)∫0－1(－2x)dx 表示的是图(2)中阴影所示三
角
形
的
面
积
,其
面
积
f(ξi)·Δ
i＝1
x,
而
∫
b a
f(x)dx 只是这种极限的一种记号,读作“函数 f(x)从 a 到 b 的定积分”. 3.若 f(x)在[－a,a]上连续,则 (1)当 f(x)是偶函数时,∫a－af(x)dx＝2∫a0f(x)dx; (2)当 f(x)是奇函数时,∫a－af(x)dx＝0.
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n 个小区间,在每个小区间[xi－1,xi]上任取一点
ξi(i
＝
1,2,…
,n),作
和
式
n
∑
i＝1
f(ξi)
Δ
x
＝
∑ i_＝n_1_b_－n__a_f(_ξ_i)_,
当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常 数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的_定__积__分__,
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第一章 导数及其应用
求 f(x)在区间[0,5]上的定积分.
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第一章 导数及其应用
解:如图, 由定积分的几何意义,得 ∫20xdx＝12×2×2＝2, ∫32(4－x)dx＝12×(1＋2)×1＝32,
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第一章 导数及其应用
∫53(52－x2)dx＝12×2×1＝1, ∴∫50f(x)dx ＝∫20xdx＋∫32(4－x)dx＋∫53(52－x2)dx ＝2＋32＋1＝92.
第一章 导数及其应用
【名师点评】 利用几何意义求定积分,关 键是准确确定被积函数的图象,以及积分区 间,正确利用相关的几何知识求面积,不规 则的图形常用分割法求面积.注意分割点的 准确性.
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第一章 导数及其应用
变式训练 2.说明下列定积分所表示的几何意义,并根据 其意义求出定积分的值: (1)∫20(3x＋1)dx;(2)∫0－1(－2x)dx.
义,求:
(1)∫3－3 9－x2dx; (2)∫30(2x＋1)dx.
【思路点拨】 确定被积函数 → 确定积分区间 → 画出图形 → 用几何法求面积 →
求出定积分
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第一章 导数及其应用
【解】 (1)在平面上,y＝ 9－x2表示的几何 图形为以原点为圆心,以 3 为半径的上半圆如 图(1)所示,3 分 其面积为 S＝12·π·32＝92π. 由定积分的几何意义知∫3－3 9－x2dx＝92π.6 分
第一章 导数及其应用
1.5.3 定积分的概念
第一章 导数及其应用
学习导航 学习目标
重点难点 重点:定积分的几何意义的应用. 难点:利用定积分的基本性质解题.
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第一章 导数及其应用
新知初探•思维启动
1.定积分的概念
如 果函数 f(x)在区间[a,b]上 连续 ,用 分点 a＝
x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区间[a,b]等分成
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第一章 导数及其应用
变式训练 1.利用定积分的定义计算∫102xdx 的值. 解:令 f(x)＝2x.将区间[0,1]等分成 n 个小区间,
则第 i 个小区间为i－n 1，ni ,
第 i 个小区间的面积为 ΔSi＝f(ni )·1n＝2ni·n1,
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第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
失误防范 1.函数 f(x)在区间[a,b]上连续这一条件是不能 忽视的,它保证了和的极限(定积分)的存在(实 际上,函数连续是定积分存在的充分条件,而 不是必要条件). 2.当函数 f(x)≤0 时,曲边梯形位于 x 轴的下方, 此时∫baf(x)dx 等于曲边梯形面积 S 的相反数, 即∫baf(x)dx＝－S.
【证明】 令 f(x)＝k,
第一章 导数及其应用
1. 分割：用分点 a＝x0<x1<x2<…<xi－1<xi<… <xn＝b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间[xi－ 1,xi](i＝1,2,…,n),
2. 近似代替，作和：在每个小区间上任取一
点 ξi(i＝1,2,…,n). 作和式∑i＝n1f(ξi)Δx＝∑i＝n1k·b－n a＝k(b－a),
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第一章 导数及其应用
（2）在平面上，f（x）＝2x＋1为一条直线.
（13 2x＋1）dx表示直线f（x）＝2x＋1，x＝
0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图（2
）所示，9分
其面积为 S＝12(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知
∫30(2x＋1)dx＝12.12 分
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第一章 导数及其应用
知能演练•轻松闯关
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第一章 导数及其应用
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3.取极限：当 n→∞时,k(b－a)→k(b－a),
∴∫bakdx＝k(b－a).
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第一章 导数及其应用
【名师点评】 利用定义求定积分的步骤:
①分割:n 等分区间[a,b];
②近似代替:取点 ξi∈[xi－1,xi];
n
③求和:∑ i＝1