i 1
10
记 max {x 1, x 2 ,· · ·, x n}, 如果不论对 [a, b]
怎样分法，也不论在小区间 [x i-1, x i] 上点 x i 怎样取 法, 只要当 0时，和 S总趋于确定的极限 I, 这时x) 在区间[a，b] 上的定积分，
即

b a
f ( x )dx lim f (x i )xi
0
i 1
20
n
2、定积分的几何意义 定积分 a f ( x )dx 的值在几何上表示由曲线 y = f (x) , 直线x = a , x = b , y = 0 所围成曲边梯形面积的 代数和。 3、定积分的性质
b
在求定积分时，常用的性质是性质1～性质6，需 注意掌握。
y = f(x) y
A1
O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积 A， 得
A A1+ A2
3
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积 A ， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，并用小矩阵 形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的 面积 A 近似为 A A1+ A2 + + An
5
• 在 [a, b]中任意插 入 n -1个分点． • 得n个小区间： [xi-1 , xi ] (i=1, 2 , ··· , n)．
b c b a a c
其中 c 可以在 [a,b] 内，也可以在 [a,b] 外。 例如，当 a < b < c 时，由于
于是有
b a
f x dx f x dx f x dx.
c b c a a b c c c b
f x dx a f x dx - b f x dx a f x dx c f x dx.
8
t1 t1-t0 , t2 t2-t1 , ··· , tn tn - tn-1 ． 任取 i [ti-1, ti] , 在时间间隔 [ti-1, ti] 内物体所经
过的路程近似为
S v (i) t i (i1, 2 , ··· , n)． 所求变速直线运动路程 S 的近似值为
作业：习题4。4
21
n
定理 设 f (x) 在区间 [a，b] 上连续，则 f (x) 在 [a，b] 上可积．
12
二、定积分的几何意义
在区间 [a , b] 上 , 当 f(x) 0 时 , 积分 a f x dx 在几何上 表示由曲线 y f (x) 、两条直线 x a、x b 与 x 轴所 围成的曲边梯形的面积； f(x) 0 时, 由曲线 y f (x)、 两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x b 轴的下方，a f x dx在几何上表示该曲边梯形面积的负 值。当 f(x) 在 [ a , b ] 上有正、有负时，则定积分 b a f x dx 在几何上表示由曲线 y f (x)、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形面积的代数和 b （如图）。即 a f ( x )dx S1 - S2 S3
4.4定积分的概念及性质
主要内容:
1.定积分的概念.
2.定积分的几何意义.
3.定积分的性质.
1
一、定积分的概念
（一）两个例子 1 求曲边梯形的面积 初等数学可以计算多边形、圆和扇形等的图形 的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形的面积 计算却无能为力。我们把由两条平行线段，一条与 之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成的图形称为 曲边梯形。特别地，当平行线之一缩为一点时，称 为曲边三角形。 现在求由直线 y y=f(x) x=a，x=b，y=0 和连 续曲线 y=f(x) 所围成 A 的曲边梯形（如图） o a x 的面积 A 。 b 2
记作 y, 即
1 b y f ( x )dx a b-a
18
例1 比较定积分 1 ln xdx 与 1 ln 2 xdx 的大小 解 当 x ∈ [1,2] 时，0 ≤ lnx < 1，所以 ln x ln 2 x 2 2 由性质6可知 ln xdx ln 2 xdx
2
2

1

1
所以 f(x) 在 [1,2] 上单调增加，故
由性质7可知
19
四、小结
1、定积分的概念 定积分是求与闭区间上连续函数 f (x) 有关的总量问题。
例如,求曲边梯形的面积,求变速直线运动的路程等问题。 按定积分的定义，求定积分即求一个和式的极限， 分四个步骤进行：分割，近似，求和，取极限。 这是一个特殊和式的特殊极限，这个极限的值 与区间 [a , b] 的分割无关，与近似点 x i 的取法无关。
b b b a a a
性质4
性质5

b
b
a
kf x dx k f x dx.
b a
如果在区间[a，b]上 f (x)1，则
1dx
a
b
a
dx b - a.
14
性质6（对积分区间的可加性）
f x dx f x dx f x dx.
f x dx,
b a
即
f x x . f x dx I lim
b a 0
n
被积函数 被积表达式
i 1
i
i
a · · · ·积分下限
b
···· 积分上限
11
x · · · ·积分变量
[a ， b] · · · 积分区间
根据定积分的定义，曲边梯形的面积为
A f x dx,
y = f ( x) y f ( x i)
f(x 2) f(x 1) f(xi)xi
• 区间[xi-1 , xi ]的长 度xi xi -xi-1 ．
O
a x1 x1 x2 x2
xi-1 xi xi
xn-1 b x
• 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
• 任取xi [xi-1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲 边梯形的面积． n • 曲边梯形的面积近似为：A f x i xi
S v t i .
i 1 n
记 max {t1，t2，· · · ，tn} ．则变速直 线运动的路程为： n
S lim v t i .
0
i 1
9
（二） 定积分的定义 定义 设函数f(x)在 [a，b] 上有界，在 [a，b] 中任意 插入 n－1 个分点 a x0 < x1 < x2 < · · · < x n- 1 < x n b ， 把区间 [a，b ]分成 n 个小区间 [x0，x1]，[x1，x2]，· · ·，[xn-1，xn] ， 各小段区间的长依次为 x1 x1-x0 ，x2 x2-x1 ，· · ·，xn xn -xn-1 ． 任取 xi [xi-1，xi] ，作函数值 f (xi) 与小区间长度 xi 的 乘积 f (xi) xi (i1，2，· · ·，n) ， n 并作出和 S f x i xi .
例2 解
x dx 值的范围。 估算定积分 1 1 x
2
x 设 f ( x ) 1 x ，则当时 x ∈ [1,2]时 1 f ( x) 0 2 (1 x ) 1 2 m f (1) , M f ( 2) 2 3
2 1 x 2 1 dx 2 1 x 3
mb - a f x dx M b - a a b. a y
b
y=f (x) M (b-a)
y
y=g(x)
M

b
a
g (x)dx
m y=f (x)

a
b
a
f (x) dx

O a
b
a
f (x)dx
b x
m(b-a)
O
b x
16
性质9（定积分中值定理） 若 f (x)在 [a,b] 上连续， 则在 [a,b]上 至少存在一点 x , 使 b a f ( x )dx f (x )(b - a ) 证 因为 f (x) 在 [a,b] 上连续，所以在 [a,b] 上必 有最大值M和最小值m， 由性质8，得
i 1
6
•在 [a, b]中任意插 入 n -1个分点．
y = f(x) y f(x 2) f(x 1 ) f(xi)xi
f(xi)
•得n个小区间： [xi-1 , xi ] (i=1, 2 , ··· , n)．
•区间[xi-1 , xi ]的长 度xi xi -xi-1 ．
O
a x1 x1 x2 x2
即
即
1 b f ( x )dx a b-a b a f ( x )dx f (x )(b - a )
注意： 在性质9的证明中得公式
1 b f (x ) f ( x )dx, a b-a
1 b 称 f ( x )dx 为函数 y = f (x) 在 [a ,b] 上的平均值. a b-a
n
xi-1 xi xi
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A f x i xi •记 max{x1, x2， ··· , x n }．则
f x i xi . •曲边梯形的面积的精确值为：A= lim 0
i 1 n i 1
7
2．变速直线运动的路程
设物体作直线运动, 已知速度 v v(t) 是时间间隔